賴老師的解答讓人獲益良多!
填充題
2. 另解:
x² + 2xy - 1 = 0 ⇒ x (x + 2y) = 1 ... (1)
2y² + xy - 2 = 0 ⇒ y (x + 2y) = 2 ... (2)
(1) ÷ (2) ⇒ 2x = y 代回 (1)
x = 1/√5 ⇒ y = 2/√5
6. 另解: 由面積比
AE = (3/4)*AC = 12
AF = (2/3)*AD = (2/3)*(4/5)*AB = 16
⇒ EF = 20
9. 另解: 題目有內分角線的垂線，故聯想到外分角線。
作∠A 的外分角線與 BC 延長線相交，並設 FD = x。
由內，外分角線定理: 1/(9-x) + 1/(9+x) = 2/5
⇒ (9-x)*(9+x) = 45
⇒ x = 6
10. 另解:
2x + 3y = 12 只有一組正整數解 (3, 2) 代入 x - y = k ⇒ k = 1
15. 另解: 令 xyz = t，則原方程組為:
x³ - t = 3
y³ - t = 9
z³ - t = 30
至此易看出，把 t 移至右式，再三式相乘，即可得 t:
t³ = (t+3)(t+9)(t+30)
14t² + 129t +270 = 0
(t+6)(14t+45) = 0
t = -6 (取最小值)，代回方程組:
(x, y, z) = (-∛3, ∛3, 2∛3)
