1.
在空間坐標系中有兩定點 \(A(3,0,0), B(11,4,3)\)，點\(P\)在\(x\)軸上變動, 求 \(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}\) 的最大值？

2.
空間中平面 \(E\) 的方程式 \(x+y+z=1\)， \(L\) 為平面 \(E\) 與 \(xy\) 平面相交的直線，若平面 \(E\) 以 \(L\) 為軸旋轉一銳角 \(\theta\) 後通過點 \((0,0,2)\)，求 \(\cos\theta=\)？

3.
如圖有一平行六面體，若\(\displaystyle\overline{AE}=3, \overline{EH}=5, \overline{EF}=6, \cos \angle AEH=\frac{4}{5}, \cos \angle AEF=\frac{1}{2}, \cos \angle HEF=\frac{3}{5}\)，求\(\overline{AG}=\)？

4.
求平面 \(E: 2x-y-2z+1=0\) 關於平面 \(F: x+y+z+1=0\) 的對稱平面方程式為何？

題目1.：在空間坐標系中有兩定點 \(A(3,0,0), B(11,4,3)\)，點\(P\)在\(x\)軸上變動, 求 \(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}\) 的最大值？

解答：

設 \(P(x,0,0)\)，令 \(\displaystyle  y=\left(\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}\right)^2 = \frac{x^2-6x+9}{x^2-22x+146}\)

\(\Rightarrow \left(y-1\right)x^2+\left(6-22y\right)x+\left(146y-9\right)=0\)

case 1: 若 \(y\neq1\)，當此二次式存在實數 \(x\) 時，\(\left(6-22y\right)^2-4\left(y-1\right)\left(146y-9\right)\geq0\)，

　　　解得 \(\displaystyle 0\leq y\leq\frac{89}{25}\Rightarrow 0\leq \sqrt{y}=\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}\leq\frac{\sqrt{89}}{5}\)

case 2: 若 \(y=1\)，亦存在有對應的實數 \(x\)。

由 case 1&2，可得 \(\displaystyle 0\leq \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}\leq\frac{\sqrt{89}}{5}\)

題目2.：空間中平面 \(E\) 的方程式 \(x+y+z=1\)， \(L\) 為平面 \(E\) 與 \(xy\) 平面相交的直線，

　　　　若平面 \(E\) 以 \(L\) 為軸旋轉一銳角 \(\theta\) 後通過點 \((0,0,2)\)，求 \(\cos\theta=\)？

解答：

第一步：

設平面 \(E\) 的一個法向量 \(\vec{n_1}=\left(1,1,1\right)\)

第二步：

因為旋轉後的平面包含 \(L\) ，也就是它是一個通過 \(x+y+z=1\) 及 \(z=0\) 共同交線的平面，

可令旋轉後的平面方程式為 \(\left(x+y+z-1\right)+kz=0\) （平面族）

因其通過點 \(\left(0,0,2\right)\) ，帶入可得 \(\displaystyle k=\frac{-1}{2}\)

得旋轉過後的平面方程式為 \(2x+2y+z=2\)，其一個法向量設為 \(\vec{n_2}=\left(2,2,1\right)\)

第三步：

所求為旋轉前後兩面銳夾角的餘弦值 \(\displaystyle =\frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{\left|\vec{n_1}\right|\left|\vec{n_2}\right|}=\frac{5}{3\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{9}\)

題目3.：如圖有一平行六面體，若\(\displaystyle\overline{AE}=3, \overline{EH}=5, \overline{EF}=6, \cos \angle AEH=\frac{4}{5}, \cos \angle AEF=\frac{1}{2}, \cos \angle HEF=\frac{3}{5}\)，求\(\overline{AG}=\)？

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2017-3-20 09:18

解答：

\(\vec{AG} = -\vec{EA}+\vec{EH}+\vec{EF}\)

\(\displaystyle\overline{AG}^2 = \vec{AG}\cdot\vec{AG}\)

　\(= \overline{EA}^2+\overline{EH}^2+\overline{EF}^2-2\vec{EA}\cdot{EH}-2\vec{EA}\cdot{EF}+2\vec{EH}\cdot{EF}\)

　\(\displaystyle= 9+25+36-2\cdot3\cdot5\cdot\frac{4}{5}-2\cdot3\cdot6\cdot\frac{1}{2}+2\cdot5\cdot6\cdot\frac{3}{5}\)

　\(=64\)


\(\displaystyle\Rightarrow \overline{AG}=8\)

題目4.：求平面 \(E: 2x-y-2z+1=0\) 關於平面 \(F: x+y+z+1=0\) 的對稱平面方程式為何？

解答：

先任取在平面 \(E\) 上且不在 \(F\) 上的一點 \(A\left(0,1,0\right)\)

再求 \(A\) 對於平面 \(F\) 的對稱點 \(\displaystyle B\left(\frac{-4}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-4}{3}\right)\)

令所求平面為 \(\left(2x-y-2z+1\right)+k\left(x+y+z+1\right)=0\)

其通過點 \(B\) 帶入，可得 \(\displaystyle k=\frac{2}{3}\)

得所求平面為 \(3\left(2x-y-2z+1\right)+2\left(x+y+z+1\right)=0\Rightarrow 8x-y-4z+5=0\)

感謝weiye老師的解說,我明白了!

題目1. 在空間坐標系中有兩定點 A (3, 0, 0)，B (11, 4, 3)，點 P 在 x 軸上變動，求 PA / PB 的最大值？

另解: 因本題 A 在 P 所變動的直線上，故亦可利用幾何性質幫助解題:

PA / PB 的最大值，即 AB 與 x 軸所夾銳角 θ 的 csc 值。(理由: 在 △ABP 中考慮正弦定理; 或因底與高成反比。)

利用向量內積，cosθ = (8, 4, 3)．(1, 0, 0) / √(64+16+9) = 8/√89

故所求 = cscθ = √89 /5

註: 若本題 AB 垂直 x 軸，則所求不存在。又若本題 A 不在 x 軸上，則上述結果不成立。