1.
在空間坐標系中有兩定點 A(300)B(1143)，點P在x軸上變動, 求 PAPB 的最大值？

2.
空間中平面 E 的方程式 x+y+z=1， L 為平面 E 與 xy 平面相交的直線，若平面 E 以 L 為軸旋轉一銳角 後通過點 (002)，求 cos=？

3.
如圖有一平行六面體，若AE=3EH=5EF=6cosAEH=54cosAEF=21cosHEF=53，求AG=？

4.
求平面 E:2x−y−2z+1=0 關於平面 F:x+y+z+1=0 的對稱平面方程式為何？

題目1.：在空間坐標系中有兩定點 A(300)B(1143)，點P在x軸上變動, 求 PAPB 的最大值？

解答：

設 P(x00)，令   y=PAPB2=x2−6x+9x2−22x+146 

y−1x2+6−22yx+146y−9=0 

case 1: 若 y=1，當此二次式存在實數 x 時，6−22y2−4y−1146y−90 ，

　　　解得 0y25890y=PAPB589 

case 2: 若 y=1，亦存在有對應的實數 x。

由 case 1&2，可得 0PAPB589 

題目2.：空間中平面 E 的方程式 x+y+z=1， L 為平面 E 與 xy 平面相交的直線，

　　　　若平面 E 以 L 為軸旋轉一銳角 \theta 後通過點 (0,0,2)，求 \cos\theta=？

解答：

第一步：

設平面 E 的一個法向量 \vec{n_1}=\left(1,1,1\right)

第二步：

因為旋轉後的平面包含 L ，也就是它是一個通過 x+y+z=1 及 z=0 共同交線的平面，

可令旋轉後的平面方程式為 \left(x+y+z-1\right)+kz=0 （平面族）

因其通過點 \left(0,0,2\right) ，帶入可得 \displaystyle k=\frac{-1}{2}

得旋轉過後的平面方程式為 2x+2y+z=2，其一個法向量設為 \vec{n_2}=\left(2,2,1\right)

第三步：

所求為旋轉前後兩面銳夾角的餘弦值 \displaystyle =\frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{\left|\vec{n_1}\right|\left|\vec{n_2}\right|}=\frac{5}{3\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{9}

題目3.：如圖有一平行六面體，若\displaystyle\overline{AE}=3, \overline{EH}=5, \overline{EF}=6, \cos \angle AEH=\frac{4}{5}, \cos \angle AEF=\frac{1}{2}, \cos \angle HEF=\frac{3}{5}，求\overline{AG}=？

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2017-3-20 09:18

解答：

\vec{AG} = -\vec{EA}+\vec{EH}+\vec{EF}

\displaystyle\overline{AG}^2 = \vec{AG}\cdot\vec{AG}

　= \overline{EA}^2+\overline{EH}^2+\overline{EF}^2-2\vec{EA}\cdot{EH}-2\vec{EA}\cdot{EF}+2\vec{EH}\cdot{EF}

　\displaystyle= 9+25+36-2\cdot3\cdot5\cdot\frac{4}{5}-2\cdot3\cdot6\cdot\frac{1}{2}+2\cdot5\cdot6\cdot\frac{3}{5}

　=64


\displaystyle\Rightarrow \overline{AG}=8

題目4.：求平面 E: 2x-y-2z+1=0 關於平面 F: x+y+z+1=0 的對稱平面方程式為何？

解答：

先任取在平面 E 上且不在 F 上的一點 A\left(0,1,0\right)

再求 A 對於平面 F 的對稱點 \displaystyle B\left(\frac{-4}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-4}{3}\right)

令所求平面為 \left(2x-y-2z+1\right)+k\left(x+y+z+1\right)=0

其通過點 B 帶入，可得 \displaystyle k=\frac{2}{3}

得所求平面為 3\left(2x-y-2z+1\right)+2\left(x+y+z+1\right)=0\Rightarrow 8x-y-4z+5=0

感謝weiye老師的解說,我明白了!

題目1. 在空間坐標系中有兩定點 A (3, 0, 0)，B (11, 4, 3)，點 P 在 x 軸上變動，求 PA / PB 的最大值？

另解: 因本題 A 在 P 所變動的直線上，故亦可利用幾何性質幫助解題:

PA / PB 的最大值，即 AB 與 x 軸所夾銳角 θ 的 csc 值。(理由: 在 △ABP 中考慮正弦定理; 或因底與高成反比。)

利用向量內積，cosθ = (8, 4, 3)．(1, 0, 0) / √(64+16+9) = 8/√89

故所求 = cscθ = √89 /5

註: 若本題 AB 垂直 x 軸，則所求不存在。又若本題 A 不在 x 軸上，則上述結果不成立。