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求平面夾角

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求平面夾角

各位老師,請教底下這題
答案有兩個,另一個為y-z=1
請問怎麼寫出另一個答案
(我用截距式算出一組)

設平面\(E\)通過點\(A(0,1,0)\),\(B(0,0,-1)\),且與平面\(F\):\(x+z-3=0\)有一夾角為\(60^{\circ}\),試求平面\(E\)的方程式。

設平面\(E\)的方程式為\(\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-1}=1\),即\(x+ay-az-a=0\)
因此,平面\(E\)的一個法向量為\(\vec{n_1}=(1,a,-a)\)
又平面\(F\)的一個法向量為\(\vec{n_2}=(1,0,1)\),且平面\(E\)與\(F\)有一夾角為\(60^{\circ}\)
故得\( \displaystyle 60^{\circ}=\left| \frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{\left| \vec{n_1} \right| \left| \vec{n_2} \right|} \right|=\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow \displaystyle \frac{\left| 1 \cdot 1+a \cdot 0+(-a)\cdot 1 \right|}{\sqrt{1^2+a^2+(-a)^2}\times \sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{\left| 1-a \right|}{\sqrt{2a^2+1}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow 2(2a^2+1)=4(1-a)^2 \)
解得\( \displaystyle a=\frac{1}{4} \)
故得平面\(E\)的方程式為\( \displaystyle \frac{x}{\frac{1}{4}}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-1}=1 \)
即\( 4x+y-z-1=0 \)

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在上面的解題過程中,

有假設 平面 \(E\) 的 \(x\) 截距為 \(a\),

可是有另一種可能,

就是平面 \(E\) 可能沒有 \(x\) 截距,

也就是平面 \(E\) 平行 \(x\)軸,

利用 \(\left(1,0,0\right)\times\vec{AB}\),可得其此時平面 \(E\) 的法向量,

再帶入 \(A\) 或 \(B\) 點,

即可得此時平面 \(E\) 的方程式。

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回復 2# weiye 的帖子

請教W大,這樣就直接解出答案。但夾角的條件就只能來當「驗證」合不合理嗎?

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Q1: 圓外一定點往圓做切線會有幾條?→想想幾何圖形,可知答案有兩條。

    若假設切線斜率,結果求出來只有一條(非重根)那表示什麼?→另一條無斜率。


Q2: 通過空間中一定直線,且與不包含此直線的平面之夾角為60度(非90度)的平面會有幾個?→想想空間中的圖形,可知答案會有兩個。

  若假設所求的x截距,結果算出來答案卻只有一個平面,且自假設之後接續的論證也無誤,那另一個答案怎麼會消失了

  →假設的地方出問題,因為可能無法這樣假設,那又是什情況會無法這樣假設?→那是個沒有x截距的平面呀

  註:這不是跟反證法一樣的原理嗎?

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回復 4# weiye 的帖子

感恩

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