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整數論題目,已知兩自然數之差及最小公倍數,球此兩數

整數論題目,已知兩自然數之差及最小公倍數,球此兩數

a,b屬於N,a-b=166,{a,b}=2905,則:
a=?
b=?

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{a,b} 是指最小公倍數 [a,b] 嗎?

假設 {a,b} 是指最小公倍數好了。

以下開始求解:


設 (a,b) = d

則 a=d×h, b=d×k 且 (h,k)=1

( (h,k)=1 是因為 d 是 a 與 b 的最大公因數,

所以 a 與 b 提出 d 之後,就沒有共同的公因數可以提出來了 )

所以題目給的兩式就變成 d(h-k)=166, d×h×k=2905

∵(h,k)=1 ∴(hk,h-k)=1

故 d 是 d(h-k) 與 d×h×k 的最大公因數

也就是說 d = (166, 2905)

稍微用輾轉相除法算一下,可得 (166, 2905)=83 → d=83

所以 h-k = 166/83 = 2, hk = 2905/83 = 35

因為 35 = hk, 且 (h, k)=1, h - k=2

所以 35 = 7×5 → h=7, k=5

故 a=83×7=581,
  b=83×5=415

多喝水。

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