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不等式
rotch
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發表於 2017-3-7 15:59
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不等式
已知\(m\ge 1\),則\(\displaystyle \frac{m^2+1}{m(m+1)}\sqrt{1+m^2}\ge \frac{2m}{m(m+1)}\sqrt{\frac{(m+1)^2}{2}}\)
等號成立於\(m=1\)
請問這個不等式該如何推出來呢?感恩
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thepiano
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發表於 2017-3-7 16:30
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\(\begin{align}
& {{m}^{2}}+1\ge 2m \\
& 1+{{m}^{2}}\ge \frac{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}{2} \\
\end{align}\)
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rotch
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發表於 2017-3-7 17:51
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如果只知道 m>= 1 與不等式的左邊,沒有不等式的右邊,想求出不等式的左邊的最小值,該如何思考呢?
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thepiano
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發表於 2017-3-7 19:47
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就是配成右邊那樣,不然就想辦法證明它遞增
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發表於 2017-3-8 15:52
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OK,感恩您的說明
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cefepime
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發表於 2017-3-8 17:20
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鑒於原題右式的手法,非我的思維能力所及,故另作嘗試。
想法: 由左式中的 √(1+ m²),聯想到 "冪平均不等式",且分母有 (m+1) 因子配合,應可行。
解: 由 "冪平均不等式",有 √(1+ m²) ≥ (1+ m)/√2,從而:
左式 ≥ [ (m² +1)/m ]*(1/√2) (至此容易想到再用算幾不等式) ≥ √2
當 m = 1 時取等號。
又,本題可推廣為 m >0 。
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rotch
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發表於 2017-3-14 12:18
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多學一招,感恩您
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laylay
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發表於 2017-3-14 21:49
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m^2+1>=2m
(m^2+1^2)(1^2+1^2)>=(m+1)^2 , 兩等號都是成立於m=1 時
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rotch
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發表於 2017-3-15 16:38
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算幾 + 柯西,感恩
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