以下求證『若(a,b)=1, 則(ab, a＋b)=1』
假設 (ab, a+b) = d > 1 (待會要證明這是不可能的，因為最後會產生矛盾...)
則 ∵ d | a+b 且 d | ab ∴ d | (a+b)×a - ab×1 → d | a^2
同理 ∵ d | a+b 且 d | ab ∴ d | (a+b)×b - ab×1 → d | b^2
因為 d | a^2 且 d | b^2 ，也就是說 d 是 a^2 與 b^2 的公因數
所以 d | (a^2, b^2)
另外 ∵(a,b)=1 ∴(a^2, b^2)=1
所以 d | 1 ，且因為 d 為正數(最大公因數都嘛是正的喔！)，所以 d = 1 這與剛開始假設的 d > 1 互相矛盾。
故 (ab, a+b) = 1
相同的方法，可以證得 『若(a,b)=1,則(ab, a - b)=1』
