1.
\(\triangle ABC\) 的外心 \(O\)、垂心 \(H\)， 直線\(BO\) 交 \(\triangle ABC\) 的外接圓於 \(D\)，試用 \(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}\) 表示 \(\vec{OH}\) ?

2.
四邊形 \(ABCD\)，\(\overline{AB}=16, \overline{BC}=25, \overline{CD}=15\)，\(\angle ABC, \angle BCD\) 皆為銳角,且\(\displaystyle\sin\angle ABC=\frac{24}{25}, \sin\angle BCD=\frac{4}{5}\)，求 \(\overline{AD}\) 之值？

題目： \(\triangle ABC\) 的外心 \(O\)、垂心 \(H\)， 直線\(BO\) 交 \(\triangle ABC\) 的外接圓於 \(D\)，試用 \(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}\) 表示 \(\vec{OH}\) ?

解答：

qq.png (22.45 KB)

2017-1-31 08:05

設 \(\overline{AB}\) 與 \(\overline{BC}\) 的中點分別為 \(E,F\)，做線段連接 \(O,E,F\) 三點，

因為 \(\overline{OE}\) 垂直 \(\overline{BC}\) 且 \(\vec{AH}\) 垂直 \(\vec{BC}\)，所以 \(\overline{OE}\) 平行 \(\overline{HA}\)

因為 \(\overline{OF}\) 垂直 \(\overline{AB}\) 且 \(\vec{CH}\) 垂直 \(\vec{AB}\)，所以 \(\overline{OF}\) 平行 \(\overline{HC}\)

因為 \(E,F\) 分別為 \(\overline{BC}, \overline{AB}\) 的中點，所以 \(\overline{EF}\) 平行 \(\overline{AC}\)，且 \(\displaystyle\overline{EF}=\frac{1}{2}\overline{AC}\)

由以上三組平行，可得 \(\triangle OEF\) 相似於 \(\triangle HAC\)，且兩者邊長比為 \(1:2\) \(\displaystyle \Rightarrow \vec{OE}=-\frac{1}{2}\vec{HA}\)


\(\displaystyle \vec{OH} = \vec{OE}-\vec{HE} = -\frac{1}{2}\vec{HA}-\frac{1}{2}\left(\vec{HB}+\vec{HC}\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \vec{OH} = -\frac{1}{2}\left(\left(\vec{OA}-\vec{OH}\right)+\left(\vec{OB}-\vec{OH}\right)+\left(\vec{OC}-\vec{OH}\right)\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\)

題目：四邊形 \(ABCD\)，\(\overline{AB}=16, \overline{BC}=25, \overline{CD}=15\)，\(\angle ABC, \angle BCD\) 皆為銳角,且\(\displaystyle\sin\angle ABC=\frac{24}{25}, \sin\angle BCD=\frac{4}{5}\)，求 \(\overline{AD}\) 之值？

解答：
\(\displaystyle\cos\angle ABC = \sqrt{1-\sin^2\angle ABC}=\frac{7}{25}\)

\(\displaystyle\cos\angle BCD = \sqrt{1-\sin^2\angle BCD}=\frac{3}{5}\)


且因為在 \(\triangle BCD\)，\(\displaystyle\overline{BC}=25, \overline{CD}=15,\cos\angle BCD=\frac{3}{5}\)，

所以 \(\overline{BD}=20, \angle CDB=90^\circ\) （或用餘弦定理確定 \(\overline{BD}=20\)，亦可知此邊角關係。）


\(\displaystyle\cos\angle ABD=\cos\left(\angle ABC - \angle CBD\right)=\cos\angle ABC\cos\angle CBD+\sin\angle ABC\sin\angle CBD\)

　　\(\displaystyle=\frac{7}{25}\times\frac{4}{5}+\frac{24}{25}\times\frac{3}{25}=\frac{4}{5}\)

由餘弦定理，可得 \(\displaystyle\overline{AD}=\sqrt{16^2+20^2-2\times16\times20\times\frac{4}{5}}=12\)

謝謝weiye老師的解說,我明白了!