1.
ABC 的外心 O、垂心 H， 直線BO 交 ABC 的外接圓於 D，試用 OAOBOC 表示 OH ?

2.
四邊形 ABCD，AB=16BC=25CD=15，ABCBCD  皆為銳角,且sinABC=2524sinBCD=54，求 AD 之值？

題目： ABC 的外心 O、垂心 H， 直線BO 交 ABC 的外接圓於 D，試用 OAOBOC 表示 OH ?

解答：

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2017-1-31 08:05

設 AB 與 BC 的中點分別為 EF，做線段連接 OEF 三點，

因為 OE 垂直 BC 且 AH 垂直 BC，所以 OE 平行 HA

因為 OF 垂直 AB 且 CH 垂直 AB，所以 OF 平行 HC

因為 EF 分別為 BCAB 的中點，所以 EF 平行 AC，且 EF=21AC

由以上三組平行，可得 OEF 相似於 HAC，且兩者邊長比為 1:2 OE=−21HA


OH=OE−HE=−21HA−21HB+HC 

OH=−21OA−OH+OB−OH+OC−OH 

OH=OA+OB+OC

題目：四邊形 ABCD，AB=16BC=25CD=15，ABCBCD  皆為銳角,且sinABC=2524sinBCD=54，求 AD 之值？

解答：
cosABC=1−sin2ABC=725 

cosBCD=1−sin2BCD=53 


且因為在 BCD，BC=25CD=15cosBCD=53，

所以 BD=20CDB=90  （或用餘弦定理確定 BD=20，亦可知此邊角關係。）


cosABD=cosABC−CBD=cosABCcosCBD+sinABCsinCBD 

　　=72554+2524325=54

由餘弦定理，可得 AD=162+202−2162054=12 

謝謝weiye老師的解說,我明白了!