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請教一題期望值

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請教一題期望值

有一青蛙位於(0,21),該青蛙每次移動皆隨意地選擇平行X軸或Y軸移動一單位。而當它移動至Y=0時,它可能隨意地向左、向右、或向上移動(機率相等),即它不會移動到Y<0的地方。當它移動到Y=24這條直線後,即停止移動。求他的移動次數期望值?(2016 AIME I, 14.)
    (P.S.:可以請教如何準備AIME嗎? 我今年去考,但成績不是很好,尤其是後面幾題完全不會。除了在英文網站上抓考古題,還有什麼方法嗎? 謝謝)

[ 本帖最後由 GeoGaLaXY 於 2016-8-27 10:27 AM 編輯 ]

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回復 1# GeoGaLaXY 的帖子

設\(f\left( k \right)\)是從\(y=k\)到\(y=24\)的移動次數期望值

\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
  & f\left( k \right)=\frac{1}{4}f\left( k+1 \right)+\frac{1}{2}f\left( k \right)+\frac{1}{4}f\left( k-1 \right)+1 \\
& f\left( 0 \right)=\frac{1}{3}f\left( 1 \right)+\frac{2}{3}f\left( 0 \right)+1 \\
& f\left( 24 \right)=0 \\
\end{align} \right. \\
& \left\{ \begin{align}
  & f\left( k+1 \right)=2f\left( k \right)-f\left( k-1 \right)-4 \\
& f\left( 1 \right)=f\left( 0 \right)-3 \\
\end{align} \right. \\
\end{align}\)
令\(f\left( 0 \right)=a\)
\(\begin{align}
  & f\left( 1 \right)=a-3,f\left( 2 \right)=a-10,f\left( 3 \right)=a-21,f\left( 4 \right)=a-36,\cdots \cdots ,f\left( n \right)=a-\sum\limits_{i=1}^{2n}{i} \\
& f\left( 24 \right)=a-\frac{\left( 1+48 \right)\times 48}{2}=0 \\
& a=1176 \\
& f\left( 21 \right)=1176-\frac{\left( 1+42 \right)\times 42}{2}=273 \\
\end{align}\)

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回復 2# thepiano 的帖子

謝謝老師 不過第一步那邊是怎麼來的?看不太懂。

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回復 3# GeoGaLaXY 的帖子

從(j,k)這個點移動1次後,有\(\frac{1}{4}\)的機率移到(j,k+1);有\(\frac{1}{4}\)的機率移到(j+1,k);有\(\frac{1}{4}\)的機率移到(j-1,k);有\(\frac{1}{4}\)的機率移到(j,k-1)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-9-1 07:59 PM 編輯 ]

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回復 4# thepiano 的帖子

懂了,謝謝!

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