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有關高斯整數符號

本主題由 weiye 於 2016-7-3 09:30 移動
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有關高斯整數符號

習題:

證明 [ ( 3 + √7 )^n ] 為奇數,其中 n 為正整數。

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回復 1# Chen 的帖子

考慮\({{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{n}}+{{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{n}}\)

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令 \(\alpha=3+\sqrt{7}\),\(\beta=3-\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow \alpha+\beta=6, \alpha^2+\beta^2=32\) 都是偶數,

另由根與係數關係式,可知 \(\alpha, \beta\) 為 \(x^2-6x+2=0\) 之兩根,

\(\Rightarrow \left(\alpha^n+\beta^n\right)=6\left(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}\right)-2\left(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}\right),\,\forall n\geq3,n\in\mathbb{N}\),

\(\Rightarrow\) 對任意 \(n\in\mathbb{N}\),\(\left(\alpha^n+\beta^n\right)\) 恆為偶數,

且由 \(\alpha^n = \left(\alpha^n+\beta^n-1\right) + \left(1-\beta^n\right)\)

因為 \(0<\beta<1\),所以 \(0<\beta^n<1\Rightarrow 0<\left(1-\beta^n\right)<1\) ,

   且 \(\left(\alpha^n+\beta^n-1\right)\in\mathbb{Z}\)

可知 \(\left[\alpha^n\right] = \left(\alpha^n+\beta^n-1\right)\) 恆為奇數。





註:或由二項式定理直接展開並相加,亦可知 \(\left(\alpha^n+\beta^n\right)\) 恆為偶數。

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回復 3# weiye 的帖子

謝謝您的詳解!!(後面的觀察很細緻)

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引用:
原帖由 Chen 於 2016-7-3 01:30 PM 發表
謝謝您的詳解!!(後面的觀察很細緻)
這題教甄常考

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