題目： \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\cdots\left(x+10\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\cdots\left(x-10\right)}\)，求 \(\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1+7h\right)}{h}=\)______。
解答：
易知 \(f(x)\) 在 \(x=-1\) 處連續，且 \(f\left(-1\right)=0\)
\(\displaystyle f\,'\left(-1\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(-1+h\right)-0}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h\cdot\left(1+h\right)\cdot\left(2+h\right)\cdots\left(9+h\right)}{\left(-2+h\right)\cdot\left(-3+h\right)\cdots\left(-11+h\right)}}{h}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdots9}{\left(-2\right)\left(-3\right)\cdots\left(-11\right)}=\frac{1}{110}\)
所求 \(\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1+7h\right)}{h}=\lim_{h\to0} \frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1+7h\right)}{\left(-1+h\right)-\left(-1+7h\right)}\cdot\left(-6\right)=f\,'\left(-1\right)\cdot\left(-6\right)=-\frac{3}{55}\)
＜最後這一行可以寫得更清楚一點，就是透過分拆成兩個極限的和去處理，
即 \(\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1+7h\right)}{h}=\lim_{h\to0} \left(\frac{f\left(-1+h\right)-f\left(-1\right)}{h}-\frac{f\left(-1+7h\right)-f\left(-1\right)}{7h}\cdot7\right)=f\,'\left(-1\right)-7f\,'\left(-1\right)\)
但是也可以選擇直接想像函數圖形之「(割點是兩動點)割線斜率的極限值，就是取極限後重合之點的切線斜率」，
即 兩動點 \(\left(-1+h,f\left(-1+h\right)\right)\) 與 \(\left(-1+7h,f\left(-1+7h\right)\right)\) 連線的斜率，當 \(h\to0\) 時，會變成在切點 \(\left(-1,f\left(-1\right)\right)\) 的切線斜率 \(f\,'\left(-1\right)\)，
就不用分拆成兩個極限和去處理了。＞
