官方版試題

直線\( y=\sqrt{3}x \)上有一點\(A\)，\(x\)軸上有一點\(B\)，圓\((x-12)^2+(y-5)^2=4\)上有一點\(C\)。求\(\Delta ABC\)之最小周長。


畫圖後發現原點到圓心連線的交點會是最小值的\(C\)點，再利用此點對\(x\)軸，\(y=\sqrt{3}x\)作對稱點後兩對稱點的距離即為周長
但是還想不到如何解釋原點到圓心連線的交點會是最小值

設\(P\)為圓上任一點，利用對稱性及餘弦可得周長為\(\sqrt{3}\,\overline{OP}\)，
若周長最小則\(\overline{OP}\)最小，即\(P\)為\(\overline{OA}\)與圓之交點

想問第4題~
我把後面變成K(PB-PA)再移項過去，然後再來怎麼做呢??
謝謝~

4.
若\(P\)為\(\Delta ABC\)內部一點，且\( 3 \vec{PA}+4 \vec{PB}+5 \vec{PC}=k \vec{AB} \)，試求\(k\)的範圍。

請參考

第四題
\( 3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=k(\vec{PB}-\vec{PA}) \)
移項得
\( (3+k)\vec{PA}+(4-k)\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0} \)
因為在內部所以
\(3+k>0\)且\(4-k<0 \)所以\(-3<k<4\)

對於每個圓上的\(C\)點 要求最小周長必須先對\(x\)軸找對稱點\(C'\)(令投影點\(D'\))

及對\(y=\sqrt{3}x \)找對稱點\(C"\)(令投影點\(D"\))

如此最小周長恰好等於\(\overline{C'C"}\)長 也等於2倍\(\overline{D'D"}\)之長



所以可以知道對於每個圓上的\(C\)點 其最小周長為其與此二直線投影點之距的2倍

故兩投影點之距(\(\overline{D'D"}\))最小時  將有最小的周長


最後利用\(OD'CD"\)四點共圓  且\(OC\)為直徑及正弦定理可以知道

\(\overline{D'D"}=\overline{OC}*sin60^{\circ}\)  所以\(\overline{OC}\)越小可得最小三角周長

可算出\(11 \sqrt{3}\)

小弟算的參考答案，有不對的地方請指正
空白處還請高手不吝賜教，感恩！！
1 \(\displaystyle \frac{5}{2} \) (正弦定理)
2 2
3 0316
4 \(-3<k<4\)
5 \( \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)
6 \( \sqrt{79} \)
7 1020096
8 \( \sqrt{7} \)
9 \( \displaystyle \frac{35}{72} \)35/72
10 31,17,3
計算
1(1)4  (二次函數配方)  (2)3 (畫圖判別或証明\( 0<x \le 1 \)遞減)    (3) 正負根號二分之一之間 (疊合或橢圓參數)
2 -2
3 \( 11\sqrt{3} \)(中區模考題)
4 希望高手指點迷津
5 12

計算證明題 4 . 比較 sin 5° + sin 10° + sin 15° 與 1/2 的大小，並說明理由。


解法 1 :




如上圖，把圓心角 30°的扇形 AOD 依 5°，10°，15° 劃分。

由 五邊形ABCDO 面積 > 三角形ADO 面積

⇒ sin 5° + sin 10° + sin 15° > 1/2



解法 2 :  (推理的過程與列式相反)

cos 5° >  cos 20°

⇒ 2 sin 10° cos 5° > 2 cos 20° sin 10°

⇒ sin 5° + sin 15° > sin 30° - sin 10°

⇒ sin 5° + sin 10° + sin 15° > sin 30°

⇒ sin 5° + sin 10° + sin 15° > 1/2



解法 3 :  (可與解法 1 互相參照)

對於 0 < α, β < 180°，有:

sin α + sin β > sin α cos β + sin β cos α = sin (α + β)

利用上式:

sin 5° + sin 10° + sin 15° >  sin (5°+10°+15°) = 1/2

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-26 10:23 PM 編輯 ]

感謝cefeprime大大深夜po文解題@@