計算第6題
先提供一下參考答案，等妙解
\(\begin{align}
  & \left( 1 \right)\ {{x}_{3}}=4 \\
& \left( 2 \right)\ {{x}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{3} \\
& \left( 3 \right)\ \frac{1}{9} \\
\end{align}\)

計算6（2）小弟是用數學歸納法推出的，但蠻麻煩的...

計算第6題
令\({{A}_{n-1}}\)和\({{A}_{n}}\)的中點是\({{M}_{n}}\left( \frac{{{x}_{n-1}}+{{x}_{n}}}{2},0 \right)\)

\(\begin{align}
  & \overline{{{A}_{n-1}}{{M}_{n}}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}}{2},\overline{{{B}_{n}}{{M}_{n}}}=\frac{\sqrt{3}\left( {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}} \right)}{2} \\
& \frac{\sqrt{3}\left( {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}} \right)}{2}=\sqrt{\frac{{{x}_{n}}+{{x}_{n-1}}}{2}} \\
& 3{{\left( {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}} \right)}^{2}}=2\left( {{x}_{n}}+{{x}_{n-1}} \right)\ \cdots \cdots \left( 1 \right) \\
& 3{{\left( {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}} \right)}^{2}}=2\left( {{x}_{n+1}}+{{x}_{n}} \right)\cdots \cdots \left( 2 \right) \\
& \left( 2 \right)-\left( 1 \right) \\
& {{x}_{n+1}}-2{{x}_{n}}+{{x}_{n-1}}=\frac{2}{3} \\
& {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}={{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}+\frac{2}{3} \\
& {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}=\frac{2}{3}n \\
& {{x}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{3} \\
\end{align}\)

感謝thepiano大大~~^^！！

想請教填充4,謝謝

4.
設橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的右焦點為\(F(4,0)\)，點\(P\)為橢圓上一動點，若以\(\overline{PF}\)為一邊作正方形\(FPQR\)(\(FPQR\)按逆時針方向排列)，當\(P\)點沿著橢圓繞行一周時，試求\(R\)點的軌跡方程式為　　　。
[解答]
小弟是用複數切入

填充4.
設橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的右焦點為\(F(4,0)\)，點\(P\)為橢圓上一動點，若以\(\overline{PF}\)為一邊作正方形\(FPQR\)(\(FPQR\)按逆時針方向排列)，當\(P\)點沿著橢圓繞行一周時，試求\(R\)點的軌跡方程式為　　　。
[解答]
簡言之，就是以 (4,0) 為中心將橢圓逆時針轉 90 度
故長短軸長交換，新的中心為 (4,-4)

[x]    [cos(-90度)  , -sin(-90度) ]     [x`-4]    [4]
[y] = [sin(-90度 )  , cos(-90度) ]  *  [y`-0] + [0]  (順旋90度) => x=y`+4 , y=-x`+4
代入原式 => ......再把x`,y`改為x,y 即可
此法雖比樓上麻煩,但若正方形改為正六邊形,則只需要把-90度 改為-120度即可

請問老師第一題要怎麼做阿

這次湊不出沒有過程,希望有老師可以指點一下

第一題
將\(A,B,C,D,E,F,G,H\)八個字母排成一列，使得\(B\)在\(A\)之右方，\(E\)在\(C\)與\(D\)之間，且\(F\)、\(G\)不相鄰，試問符合條件的排法有　　　種。
[解答]
(8! - 7! * 2) *(1/2) * (1/3)
先扣掉 F 和 G 相鄰，剩下的有一半是 B 在 A 右邊，再來有 1/3 是 E 在 C 和 D 之間