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矩陣題型
anson721
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發表於 2016-5-9 11:34
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矩陣題型
已知\(A,B,I,O\)皆為三階方陣且\(I\)為單位方陣,\(O\)為零方陣,若\(A+B=I\)且\(AB=O\),則\(\displaystyle det[\sum_{n=1}^{10}(A^{n}+B^{n})]\)之值為
。
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weiye
瑋岳
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發表於 2016-5-9 12:43
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因為 \(A+B=I\),所以 \(AB=A\left(I-A\right)=A-A^2=\left(I-A\right)A=BA\Rightarrow \left(A+B\right)^n =C^n_0 A^n + C^n_1 A^{n-1}B+\cdots+C^n_n B^n\)
又因為 \(AB=O\),所以 \(A^n+B^n=C^n_0 A^n + C^n_1 A^{n-1}B+\cdots+C^n_n B^n = \left(A+B\right)^n=I^n=I\)
所求\(=\det\left(10I\right)=1000.\)
多喝水。
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