過點\((0,1,2)\)恰有兩直線在方程式\(3x^2+5y^2+z^2-8zx+8xy-9=0\)的圖形上，則包含此二直線的平面方程式為?

設直線方向向量為\( (a,b,c)\)
則其參數式設為\( x=at，y=1+bt，z=2+ct \)，代入\(3x^2+5y^2+z^2-8zx+8xy-9=0\)
整理得
\((a^2+5b^2+c^2+8ab-8ac) t^2+(-8a+10b+4c)t=0\)   對所有實數\( t \)均成立

故\(-8a+10b+4c=0\)
所以，\((-8,10,4) \)可視為所求平面的法向量，
故所求平面方程式為\( 4x-5y-2z+9=0\)

附上圖形

sshot-1.png (44.48 KB)

2016-4-21 14:52

感謝樓上的回覆~ 對! 一直沒想到用參數式做。
雖然看到二元二次曲線第一個直覺會想偏微求梯度，再求法向量。
但還沒想到用高二生聽得懂的方法呈現，看到包含有想到用圖形系解但一直卡住。