1.
nN，n為奇數，利用數學歸納法證明(n2+6n−3)(n+3)恆為16的倍數。

2.
一數列an定義如下：an=15(21+5)n−(21−5)n ，nN
(1)試證：an+2=an+1+an，nN恆成立
(2)求a10=？
(3)試證：anN,nN恆成立
答案：a10=55

第1題
這題不用數學歸納法比較容易

第2題
  an+1+an=1521+5n+1−21−5n+1+21+5n−21−5n=1521+5n21+5+1−21−5n21−5+1=1521+5n21+52−21−5n21−52=1521+5n+2−21−5n+2=an+2
後面就不做了

1.
令n=2m-1，其中m為正整數，則
(n^2+6n-3)(n+3) = [(2m-1)^2+6(2m-1)-3][(2m-1)+3] = [4m^2+8m-8][2m+2] = 8(m^2+2m-2)(m+1) = 8(m^3+3m^2-2)，所以只要再證明(m^3+3m^2-2)恆為偶數即可。
當m=1時，1^3+3*1^2-2=2為偶數，成立。
設當m=k時成立，即k^3+3k^2-2≡0 (mod 2) → k^3+k^2≡0 (mod 2) → 根據費馬小定理，k^2≡k (mod 2)，故k^3+k≡0 (mod 2) → k^3≡-k (mod 2).......甲
當m=k+1時，
(k+1)^3+3(k+1)^2-2
≡k^3+6k^2+9k+2
≡k^3+k
≡-k+k.....將甲式代入
≡0 (mod 2)
故m=k+1時亦成立。
根據數學歸納法的原理，原式恆成立。