題目：

已知 \(f(x), g(x)\) 皆為二次式，且首項係數皆為 \(1\)，

\(\left(f(x)\right)^2\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(4x-4\)，

\(\left(g(x)\right)^2\) 除以 \(f(x)\) 的餘式為 \(-4x-4\)，

求 \(f\left(x\right)+g\left(x\right)=\)？



解答：

令 \(f(x)=g(x)+mx+n=x^2+ax+b\Rightarrow g(x)=x^2+\left(a-m\right)x+\left(b-n\right)\)

則 \(\left(f(x)\right)^2=\left(g(x)\right)^2+2g(x)\left(mx+n\right)+\left(mx+n\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(f(x)\right)^2=\left(g(x)\right)^2+2g(x)\left(mx+n\right)+m^2x^2+2mnx+n^2\)

依題意，可得 \(4x-4=m^2\left(\left(m-a\right)x+\left(n-b\right)\right)+2mnx+n^2\)

\(\Rightarrow 4x-4=\left(m^3-am^2+2mn\right)x+\left(m^2n-bm^2+n^2\right)\)

另一方面， \(\left(g(x)\right)^2=\left(f(x)\right)^2-2f(x)\left(mx+n\right)+\left(mx+n\right)^2\)

\(\Rightarrow \left(g(x)\right)^2=\left(f(x)\right)^2-2f(x)\left(mx+n\right)+m^2+2mnx+n^2\)

依題意，可得 \(-4x-4=m^2\left(-ax-b\right)+2mnx+n^2\)

\(-4x-4=\left(2mn-am^2\right)x+\left(n^2-bm^2\right)\)


因此，

\(m^3-am^2+2mn=4\) ……(1)

\(m^2n-bm^2+n^2=-4\) ……(2)

\(2mn-am^2=-4\) ……(3)

\(n^2-bm^2=-4\) ……(4)

由 (1)~(4)，可解得 \(m=2, n=0, a=1, b=1\)

因此，\(f(x)=x^2+x+1, g(x)=x^2-x+1\Rightarrow f(x)+g(x)=2x+2\) 。

(嘗試減少參數)

無論是想利用 "首項係數相等" 或 "餘式代換法"，大致會聯想到 f(x) - g(x)。

由題意:

[f(x) - g(x)] ² = c*f(x) - 4x - 4 = c*g(x) + 4x - 4  (c 是常數)

比較紅藍式的常數項，知 f(x) 與 g(x) 的常數項相等 (c ≠ 0)，故上式可改寫為:

cx² = c*f(x) - 4x - 4 = c*g(x) + 4x - 4

因紅藍式的一次項與常數項皆 = 0，故知可設 f(x) = x² + ax + a  ; g(x) = x² - ax + a

上式前半再改寫為:

4a²x² = (4a²)*(x² + ax + a) - 4x - 4

比較係數，得 a =1。

f(x) + g(x) = 2x² + 2a  = 2x² + 2