題目：設 \(x\in\mathbb{R}\)，解 \(2\sqrt{x^2-121}+11\sqrt{x^2-4}=7\sqrt{3}x\)



解答：令 \(a=\sqrt{x^2-121}, b=\sqrt{x^2-4}\)

　　　則題述為 \(2a+11b=7\sqrt{3}x\)  ……(1)

　　　利用 \(2^2 a^2 -11^2 b^2 = 2^2\left(x^2-121\right)-11^2 \left(x^2-4\right)=-117x^2\) ……(2)

　　　由 (2)除以(1)（顯然 \(x\neq0\)，所以可以相除），

　　　　　可得 \(\displaystyle 2a-11b=-\frac{39\sqrt{3}}{7}x\) ……(3)

　　　由 (1)&(3) 解聯立方程式，

　　　　　可得 \(\displaystyle 2a=\frac{5\sqrt{3}x}{7}\) 且 \(\displaystyle 11b=\frac{44\sqrt{3}}{7}x\)

　　　\(\Rightarrow \displaystyle 2\sqrt{x^2-121}=\frac{5\sqrt{3}x}{7}\) 且 \(\displaystyle 11\sqrt{x^2-4}=\frac{44\sqrt{3}}{7}x\)

　　　\(\Rightarrow x^2=196 \Rightarrow x=\pm14\) ，但負不合，因此 \(x=14.\)

分享一個淺見。

因注意到 121 = 11²，4 = 2²，且未知數的型式與直角三角形有關，故聯想到:

如下圖，以 x ( 顯然 > 0 ) 為直徑作圓，依托勒密定理，題目各元素成為以下構圖:



所求 x 即三邊為 11, 2, 7√3 之三角形之外接圓直徑，由正/餘弦定理易求得 x = 14。

漂亮的觀點!!!! @@

引用:

原帖由 cefepime 於 2016-2-8 11:30 PM 發表
分享一個淺見。

因注意到 121 = 11²，4 = 2²，且未知數的型式與直角三角形有關，故聯想到:

如下圖，以 x ( 顯然 > 0 ) 為直徑作圓，依托勒密定理，題目各元素成為以下構圖:

pic.png (4.36 KB)

2016-2-9 16:52

所求 x 即 ...

剛剛看到朋友出的類題剛好拿來試用 cefepime 的方法。

題目： \(2\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2-4}=x^2\)

解答：

2016-03-10 00.17.07.jpg (964.58 KB)

2016-3-10 00:23

然後再來一個另解，

IMAG2467_1.jpg (988.9 KB)

2016-3-10 01:13

再再一個我常用的解法，

另解，
令 a=√(x^2-1), b=√(x^2-4)，

由 2a+b=x^2, 4a^2-b^2=3x^2

可得 2a-b=3，

解聯立{2a+b=x^2, 2a-b=3}，

得 a=(x^2+3)/4，即 √(x^2-1) = (x^2+3)/4

解得 x^2 = 5，x=±√5