1.
設正實數\(a\)的純小數部分為\(b\)，已知\(a+b^2=n\)，\( n \in Z \)，求\(b\)之值？
答案：\( \displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \)

2.
甲乙二人同解一個一元二次方程式，因甲誤寫一次項係數,乙誤寫常數項，故甲乙兩人所得的二根之絕對值之比各為2:3與5:2，且甲之大根為\( \displaystyle -\frac{4}{5} \)，乙之大根為\( \displaystyle \frac{2}{3} \)，求原方程式？
答案：\(75x^2-175x+72=0\)

謝謝!!

第一題：設正實數 \(a\) 的純小數部分為 \(b\)，已知 \(a+b^2=n\)，\(n\in\mathbb{Z}\)，求 \(b\) 之值？

解答：

依題意，可知 \(a=n-b^2\) 且 \(0<b<1\)

\(\Rightarrow n-1< a< n\)

\(\Rightarrow a\) 的整數部分為 \(n-1\)

\(\Rightarrow a=\left(n-1\right)+b\) 帶入 \(a+b^2=n\)

可得 \(\displaystyle b^2+b-1=0\Rightarrow b=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)，負不合，得 \(\displaystyle b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)



類題：https://math.pro/db/thread-1779-1-5.html

你的題目打錯，乙的部分是給"小根"，不然解出來不會是那個答案。



第二題：甲乙二人同解一個一元二次方程式，因甲誤寫一次項係數，乙誤寫常數項，故甲乙兩人所得的二根之絕對值之比各為\(2:3\) 與 \(5:2\)，且甲之大根為 \(\displaystyle -\frac{4}{5}\)，乙之小根為 \(\displaystyle \frac{2}{3}\)，求原方程式？ 答案： \(75x^2-175x+72=0\)




解答：

因為甲的兩根絕對值比為 \(2:3\)，且甲的大根為負數，所以甲的另一根亦為負數為 \(\displaystyle \left(-\frac{4}{5}\right)\times\frac{3}{2}=-\frac{6}{5}\)，正確的兩根之積為 \(\displaystyle \frac{24}{25}\)。

因為乙的兩根絕對值比為 \(5:2\)，且乙的小根為正數，所以乙的另一根亦正數為 \(\displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{5}{2}=\frac{5}{3}\)，正確的兩根之和為 \(\displaystyle \frac{7}{3}\)。

所以正確的方程式為 \(\displaystyle x^2-\frac{7}{3}x+\frac{24}{25}=0\)，即 \(75x^2-175x+72=0\)。

感謝weiye 老師,我明白了!