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請教兩題

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請教兩題

1.
設正實數\(a\)的純小數部分為\(b\),已知\(a+b^2=n\),\( n \in Z \),求\(b\)之值?
答案:\( \displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \)

2.
甲乙二人同解一個一元二次方程式,因甲誤寫一次項係數,乙誤寫常數項,故甲乙兩人所得的二根之絕對值之比各為2:3與5:2,且甲之大根為\( \displaystyle -\frac{4}{5} \),乙之大根為\( \displaystyle \frac{2}{3} \),求原方程式?
答案:\(75x^2-175x+72=0\)

謝謝!!

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第一題:設正實數 \(a\) 的純小數部分為 \(b\),已知 \(a+b^2=n\),\(n\in\mathbb{Z}\),求 \(b\) 之值?

解答:

依題意,可知 \(a=n-b^2\) 且 \(0<b<1\)

\(\Rightarrow n-1< a< n\)

\(\Rightarrow a\) 的整數部分為 \(n-1\)

\(\Rightarrow a=\left(n-1\right)+b\) 帶入 \(a+b^2=n\)

可得 \(\displaystyle b^2+b-1=0\Rightarrow b=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\),負不合,得 \(\displaystyle b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)



類題:https://math.pro/db/thread-1779-1-5.html

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你的題目打錯,乙的部分是給"小根",不然解出來不會是那個答案。



第二題:甲乙二人同解一個一元二次方程式,因甲誤寫一次項係數,乙誤寫常數項,故甲乙兩人所得的二根之絕對值之比各為\(2:3\) 與 \(5:2\),且甲之大根為 \(\displaystyle -\frac{4}{5}\),乙之小根為 \(\displaystyle \frac{2}{3}\),求原方程式? 答案: \(75x^2-175x+72=0\)




解答:

因為甲的兩根絕對值比為 \(2:3\),且甲的大根為負數,所以甲的另一根亦為負數為 \(\displaystyle \left(-\frac{4}{5}\right)\times\frac{3}{2}=-\frac{6}{5}\),正確的兩根之積為 \(\displaystyle \frac{24}{25}\)。

因為乙的兩根絕對值比為 \(5:2\),且乙的小根為正數,所以乙的另一根亦正數為 \(\displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{5}{2}=\frac{5}{3}\),正確的兩根之和為 \(\displaystyle \frac{7}{3}\)。

所以正確的方程式為 \(\displaystyle x^2-\frac{7}{3}x+\frac{24}{25}=0\),即 \(75x^2-175x+72=0\)。

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回復 3# weiye 的帖子

感謝weiye 老師,我明白了!

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