1.
兩個等差數列,其首 \(n\) 項和的比為 \(\left(7n+1\right):\left(4n+27\right)\)，求第一數列之第 \(4\) 項與第二數列之第 \(5\) 項的比？
答案：\(50:63\)

2.
第二題：觀察下表,每一行、每一列中的數字皆形成等差數列，且有無窮多項，則表中 \(717\) 總共出現幾次？
答案： \(28\)
\( \matrix{1&3&5&7&9&…\cr
3&6&9&12&15&…\cr
5&9&13&17&21&…\cr
7&12&17&22&27&…\cr
9&15&21&27&33&…\cr
11&18&25&32&39&…\cr
…&…&…&…&…&…} \)

第一題：兩個等差數列,其首 \(n\) 項和的比為 \(\left(7n+1\right):\left(4n+27\right)\)，求第一數列之第 \(4\) 項與第二數列之第 \(5\) 項的比？答案：\(50:63\)

解答：

可令此兩等差數列前 \(n\) 項和分別為 \(\left(7n^2+n\right)t\) 及 \(\left(4n^2+27n\right)t\)

則此兩數列的第 \(n\) 項\((n\geq2)\)分別為

　\(\left(7n^2+n\right)t-\left(7\left(n-1\right)^2+\left(n-1\right)\right)t=\left(14n-6\right)t\)

及

　\(\left(4n^2+27n\right)t-\left(4\left(n-1\right)^2+27\left(n-1\right)\right)t=\left(8n+23\right)t\)

所以，第一數列的第 4 項與第二數列的第 5 項的比為 \(\left(14\times4-6\right)t:\left(8\times5+23\right)t=50:63\).

第二題：觀察下表,每一行、每一列中的數字皆形成等差數列，且有無窮多項，則表中 \(717\) 總共出現幾次？答案： \(28\)

1	3	5	7	9	…
3	6	9	12	15	…
5	9	13	17	21	…
7	12	17	22	27	…
9	15	21	27	33	…
11	18	25	32	39	…
…	…	…	…	…	…

解答：

此表格第 \(a\) 列第 \(b\) 行的位置為 \(\left(1+\left(a-1\right))\cdot2\right)+\left(b-1\right)\cdot\left(a+1\right)=ab+a+b-2\)

依題述，可得 \(ab+a+b-2= 717\Rightarrow (a+1)(b+1)=720 \Rightarrow (a+1)(b+1)=2^4\times3^2\times5\)

\((a,b)\) 共有 \(5\times3\times2-2=28\) 組正整數解。

感謝weiye 老師,我明白了!!

不好意思,請問如何得知n(7n+1)t及n(4n+27)t各別都要有n倍,謝謝!!

首 n 項的和是 n 的二次多項式

感謝thepiano 老師,我明白了!!