1.
兩個等差數列,其首 n 項和的比為 7n+1:4n+27 ，求第一數列之第 4 項與第二數列之第 5 項的比？
答案：50:63

2.
第二題：觀察下表,每一行、每一列中的數字皆形成等差數列，且有無窮多項，則表中 717 總共出現幾次？
答案： 28
1357911…369121518…5913172125…71217222732…91521273339……………………

第一題：兩個等差數列,其首 n 項和的比為 7n+1:4n+27 ，求第一數列之第 4 項與第二數列之第 5 項的比？答案：50:63

解答：

可令此兩等差數列前 n 項和分別為 7n2+nt  及 4n2+27nt 

則此兩數列的第 n 項(n2)分別為

　7n2+nt−7n−12+n−1t=14n−6t 

及

　4n2+27nt−4n−12+27n−1t=8n+23t 

所以，第一數列的第 4 項與第二數列的第 5 項的比為 144−6t:85+23t=50:63 .

第二題：觀察下表,每一行、每一列中的數字皆形成等差數列，且有無窮多項，則表中 717 總共出現幾次？答案： 28

1	3	5	7	9	…
3	6	9	12	15	…
5	9	13	17	21	…
7	12	17	22	27	…
9	15	21	27	33	…
11	18	25	32	39	…
…	…	…	…	…	…

解答：

此表格第 a 列第 b 行的位置為 1+a−1)2+b−1a+1=ab+a+b−2 

依題述，可得 ab+a+b−2=717(a+1)(b+1)=720(a+1)(b+1)=24325

(ab) 共有 532−2=28 組正整數解。

感謝weiye 老師,我明白了!!

不好意思,請問如何得知n(7n+1)t及n(4n+27)t各別都要有n倍,謝謝!!

首 n 項的和是 n 的二次多項式

感謝thepiano 老師,我明白了!!