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97竹北高中

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97竹北高中

請教第10題第(2)小題,感謝。

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97竹北高中.pdf (605.8 KB)

2015-12-16 20:08, 下載次數: 1585

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回復 1# mathca 的帖子

10.
已知\( F \)為拋物線\( \Gamma \):\( x^2=4y \)的焦點,\(A\)、\(B\)為\( \Gamma \)上焦弦,滿足\( AF=\lambda FB \),過\(A\)、\(B\)分別做切線交於\(M\)點,
(1)試證:\( FM⊥AB \)
(2)請問\( \lambda=\)?時,\( \Delta ABM \)面積有最小值。
[解答]
\(\displaystyle A\left( a,\frac{{{a}^{2}}}{4} \right),B\left( b,\frac{{{b}^{2}}}{4} \right),a>0>b\)
易知\(ab=-4\)
作BC垂直準線於C,作AD垂直準線於D
則\(\begin{align}
  & \Delta ABM=\frac{1}{2}ABCD=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \left( \frac{{{a}^{2}}}{4}+1+\frac{{{b}^{2}}}{4}+1 \right)\left( a-b \right) \\
& =\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \left( \frac{{{a}^{2}}}{4}+1+\frac{{{\left( -\frac{4}{a} \right)}^{2}}}{4}+1 \right)\left( a+\frac{4}{a} \right) \\
& =\frac{{{\left( a+\frac{4}{a} \right)}^{3}}}{16} \\
& \ge 4 \\
\end{align}\)
等號成立於\(a=2,b=-2,\lambda =1\)時

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回復 2# thepiano 的帖子

再請教:作\(BC\)垂直準線於\(C\),作\(AD\)垂直準線於\(D\)>>如何知道準線必過\(M\)?

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回復 3# mathca 的帖子

\(M\)是直線\(MA\)和\(MB\)的交點
用點斜式把兩條直線方程式找出來,解聯立即知\(M\)在準線上

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回復 4# thepiano 的帖子

了解!! 感謝!!

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請問第2題的第3小題證明,感謝。

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回復 6# weni 的帖子

2.
設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)的前\(n\)項和\( \displaystyle S_n=\frac{4}{3}a_n-\frac{1}{3}\cdot 2^{n+1}+\frac{2}{3}\),\(n=1,2,3,\ldots\)
(1)求首項\(a_1\)
(2)求一般項\(a_n\)
(3)設\( \displaystyle T_n=\frac{2^n}{S_n} \),\(n=1,2,3,\ldots\),證明:\( \displaystyle \sum_{i=1}^n T_i<\frac{3}{2} \)


2-3
\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}={{4}^{n}}-{{2}^{n}} \\
&  \\
& {{T}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}}{{{S}_{n}}}=\frac{{{2}^{n}}}{\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( {{4}^{k}}-{{2}^{k}} \right)}}=\frac{{{2}^{n}}}{\frac{4}{3}\left( {{4}^{n}}-1 \right)-2\left( {{2}^{n}}-1 \right)} \\
& =\frac{3\times {{2}^{n}}}{{{4}^{n+1}}-4-3\times {{2}^{n+1}}+6} \\
& =\frac{3}{2}\times \frac{{{2}^{n}}}{2\times {{2}^{2n}}-3\times {{2}^{n}}+1} \\
& =\frac{3}{2}\times \frac{{{2}^{n}}}{\left( {{2}^{n}}-1 \right)\left( {{2}^{n+1}}-1 \right)} \\
& =\frac{3}{2}\left( \frac{1}{{{2}^{n}}-1}-\frac{1}{{{2}^{n+1}}-1} \right) \\
&  \\
& \sum\limits_{i=1}^{n}{{{T}_{i}}}=\frac{3}{2}\left( 1-\frac{1}{{{2}^{n+1}}-1} \right)<\frac{3}{2} \\
\end{align}\)

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回復 7# thepiano 的帖子

感謝鋼琴大大!!
昨天犯傻了,直接代原題目給的Sn然後就卡關了……

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請問第二題的第二小題,式子整理完之後要怎麼利用特徵值來求呢?

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回復 9# BambooLotus 的帖子

2-2
\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}} \\
& =\frac{4}{3}{{a}_{n}}-\frac{{{2}^{n+1}}}{3}+\frac{2}{3}-\left( \frac{4}{3}{{a}_{n-1}}-\frac{{{2}^{n}}}{3}+\frac{2}{3} \right) \\
& =\frac{4}{3}{{a}_{n}}-\frac{4}{3}{{a}_{n-1}}-\frac{{{2}^{n}}}{3} \\
& {{a}_{n}}=4{{a}_{n-1}}+{{2}^{n}} \\
& {{a}_{n}}+{{2}^{n}}=4\left( {{a}_{n-1}}+{{2}^{n-1}} \right) \\
&  \\
& {{a}_{2}}+{{2}^{2}}=4\left( {{a}_{1}}+2 \right) \\
& {{a}_{3}}+{{2}^{3}}=4\left( {{a}_{2}}+{{2}^{2}} \right) \\
& : \\
& : \\
& {{a}_{n}}+{{2}^{n}}=4\left( {{a}_{n-1}}+{{2}^{n-1}} \right) \\
&  \\
& {{a}_{n}}+{{2}^{n}}={{4}^{n-1}}\times \left( 2+2 \right) \\
& {{a}_{n}}={{4}^{n}}-{{2}^{n}} \\
\end{align}\)

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