1.
代數基本定理：任何 n 次多項方程式，只要 n≧1，在複數系中，至少有一個根。
2.
若 f(x) 為 n 次多項式，根據代數基本定理可以知道至少有一根α1，
將 f(x) 提出 (x-α1) ，可得 f(x) = (x-α1)×(某個 n-1 次多項式)，
繼續對 n-1 次多項式引用代數基本定理，可得
f(x) = (x-α1)×(x-α2)×(某個 n-2 次多項式)
在一直繼續下去可得，
f(x) = (x-α1)×(x-α2)×...×(x-αn)
因此，把代數基本定理推廣可得：
定理： n 次多項方程式在複數系裡面，恰有 n 個根。(重根亦重複計算個數)
3.
形如 f(x)=an x^n + ... + a1 x + a0 的多項式，因為不知道 an 是否為零，
所以可能為 n 次多項式，也可能為 n-1, n-2, ..., 1, 0 次多項式，或是 0 多項式。
(註： 0 次多項式，表示 f(x)= "非零的常數" ；0 多項式，表示 f(x)="零"。)
若已知 n+1 個相異數，使 f(x) 的函數值均為 0，
則 f(x)=0 恆成立。
這是因為，
根據 2. 的定理，可得，
n 次多項式至多有 n 個相異根，所以 f(x) 不會是 n 次多項式，
同理，f(x) 也不會是 n-1, n-2, ..., 1 次多項式，
故 f(x)=常數 (也就是說 f(x) 為 0 次多項式，或是 0 多項式) ，
且已知 f(x) 有 n+1 個相異根帶入皆為 0 ，故 f(x)=0 恆成立。
4.
若兩個多項式 f(x)=an x^n + ... + a1 x + a0, g(x)=bn x^n + ... + b1 x + b0，
如果找到 n+1 個相異數，使 f(x), g(x) 的函數值相等，
則 f(x) = g(x) 恆成立。
這是因為，
設 h(x) = f(x) - g(x)，(待會希望證明 h(x)=0 恆成立，那一切就結束了！)
則 h(x) = (an-bn) x^n + ... + (a1-b1) x + (a0-b0) ，
若 f(α) = g(α) → f(α) - g(α) = 0 → h(α) = 0
因此，若有 n+1 個相異數，使得 f(x), g(x) 的函數值相等，
則可以得到，有 n+1 個相異數，使得 h(x) 代入這 n+1 個相異數之後，函數值皆 = 0
根據 3. 的結果，可以知道
h(x)=0 恆成立 → f(x)-g(x) = 0 恆成立 → f(x) = g(x) 恆成立。
5.
若令 4. 中的 g(x) = k (常數函數)，則可得
形如 f(x)=an x^n + ... + a1 x + a0 的多項式，
若已知 n+1 個相異數 使 f(x) 的函數值均為 k，
則 f(x)=k 恆成立。
