\(\triangle ABC\)中，\(\angle B, \angle C\)的角平分線各交\(\overline{AC},\overline{AB}\)於\(M,N\)兩點，求證:\(\overline{MN}\)上任意點P滿足\(d(P,\overline{BC})=d(P,\overline{AB})+(P,\overline{AC})\)

嘗試了很多方式
下圖(一)是目前用的，想請問，是方向錯誤或沒看到什麼點嗎?
下圖(二)是原本要證明的，\(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \overline{EB}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \overline{EA}}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \overline{EC}}\)
怎麼把(一)的結果用進(二)的證明之中呢?
感謝
(一)

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2015-10-1 15:42

(二)

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2015-10-1 15:57

[ 本帖最後由 deca0206 於 2015-10-1 04:01 PM 編輯 ]

借您的圖
作\(\overline{MD}\bot \overline{BC}\)於D，\(\overline{ME}\bot \overline{AB}\)於E，\(\overline{NJ}\bot \overline{BC}\)於J，\(\overline{NK}\bot \overline{AC}\)於K
設\(\overline{DN}\)交\(\overline{PI}\)於T
\(\begin{align}
  & \overline{PG}=\frac{\overline{MP}}{\overline{MN}}\times \overline{NK}=\frac{\overline{MP}}{\overline{MN}}\times \overline{NJ}=\frac{\overline{DI}}{\overline{DJ}}\times \overline{NJ}=\overline{IT} \\
& \overline{PH}=\frac{\overline{NP}}{\overline{MN}}\times \overline{ME}=\frac{\overline{NP}}{\overline{MN}}\times \overline{MD}=\overline{PT} \\
& \overline{PI}=\overline{PT}+\overline{IT}=\overline{PG}+\overline{PH} \\
\end{align}\)

明白了，謝謝老師

再借一次您的第(二)個圖
作\(\overline{EX}\bot \overline{AB}\)於X，\(\overline{EY}\bot \overline{BC}\)於Y，\(\overline{EZ}\bot \overline{CA}\)於Z
由上一題可證出\(\overline{EX}+\overline{EY}=\overline{EZ}\)
\(\begin{align}
  & 2\Delta AEB=\overline{AB}\times \overline{EX}=\overline{EA}\times \overline{EB}\times \sin AEB=\overline{EA}\times \overline{EB}\times \sin ACB \\
& \overline{EX}=\overline{EA}\times \overline{EB}\times \frac{\sin ACB}{\overline{AB}} \\
\end{align}\)
同理
\(\begin{align}
  & \overline{EY}=\overline{EB}\times \overline{EC}\times \frac{\sin BAC}{\overline{BC}} \\
& \overline{EZ}=\overline{EC}\times \overline{EA}\times \frac{\sin CBA}{\overline{CA}} \\
& \overline{EX}+\overline{EY}=\overline{EZ} \\
& \overline{EA}\times \overline{EB}\times \frac{\sin ACB}{\overline{AB}}+\overline{EB}\times \overline{EC}\times \frac{\sin BAC}{\overline{BC}}=\overline{EC}\times \overline{EA}\times \frac{\sin CBA}{\overline{CA}} \\
& \overline{EA}\times \overline{EB}+\overline{EB}\times \overline{EC}=\overline{EC}\times \overline{EA} \\
& \frac{1}{\overline{EC}}+\frac{1}{\overline{EA}}=\frac{1}{\overline{EB}} \\
\end{align}\)

這題實在很漂亮，不太適合小弟這種有點年紀的中年大叔啊

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-10-2 09:22 PM 編輯 ]

先感謝 鋼琴老師的精闢解答。

這題我試圖加入一些直觀，希望體會題目的精神。

如上圖左，直角坐標系中，M 為直線 L 上一定點，P 為 L 上動點。我們定義 "MP位移" 為 MP 兩點的距離並含方向性 (以正負表示)，意即 M 兩端的點 P，一端位移規定為正，另一端規定為負; 則 P 的 Y 坐標與"MP位移"呈一線性函數關係。這個符合直觀的結論，只要利用相似三角形，並考慮 M，P 的 Y 坐標即可得出。
現將 P 的 Y 坐標，視為 P 至一直線 X 軸的"有向距離" (以下用 "D" 表示) -- 即兩者距離並含方向性 (以正負表示)。
綜合以上觀察，知: 平面上，某直線 L 上一動點 P 至另一直線的有向距離，與 P 的位移 ( L 上任取一參考點) 呈一線性函數關係。

回到原題，如上圖右，定義 △ABC 內的點關於直線 AB，AC，BC 的有向距離皆取正值。依上述，D(P, BC)，D(P, AB)，D(P, AC) 皆與 P 的位移呈線性函數關係。由於直線MN上有兩相異點 M 與 N，滿足 D(P, BC) = D(P, AB) + D(P, AC)，因此線段MN上任意點 P 必亦滿足之 [由於線性函數 D(P, BC) - D(P, AB) - D(P, AC) 存在兩個零點]，此即題目所欲證 (也可幫助體會為何題目所述會成立)。

而標準的證明，即如 鋼琴老師所述。
更一般地說，只要直線 L 上有兩相異點，滿足 D(P, BC)，D(P, AB)，D(P, AC) 的同一線性關係，則 L 上的點皆然。本題是用角平分線提供一個特例。


考慮第(二)題。如上圖，X，Y，Z 分別是 E 關於 AB，BC，AC 直線的垂足。
由以上討論知 D(E, BC) = D(E, AB) + D(E, AC)，故 d(E, BC) = - d(E, AB) + d(E, AC)，即

EZ = EY + EX

現欲證 1/EB = 1/EA +1/EC

只要證出兩式的各項依序成比例即可，即欲證 EZ*EB = EY*EA = EX*EC

而上列式子可由圓周角性質得出:

∠ECA = ∠EBA ⇒ EZ/EC = EX/EB ⇒ EZ*EB = EX*EC

∠ECB = ∠EAB ⇒ EY/EC = EX/EA ⇒ EY*EA = EX*EC

引用:

原帖由 thepiano 於 2015-10-2 09:14 PM 發表
再借一次您的第(二)個圖
作\(\overline{EX}\bot \overline{AB}\)於X，\(\overline{EY}\bot \overline{BC}\)於Y，\(\overline{EZ}\bot \overline{CA}\)於Z
由上一題可證出\(\overline{EX}+\overline{EY}=\overline{EZ}\)
...

請問如何
由上一題可證出\(\overline{EX}+\overline{EY}=\overline{EZ}\)?

上一題結論\(\overline{PI}=\overline{PG}+\overline{PH}\)
作\(\overline{EX}\bot \overline{AB}\)於X，\(\overline{EY}\bot \overline{BC}\)於Y，\(\overline{EZ}\bot \)於Z
取\(\overline{PN}=\overline{EN}\)，則\(\overline{PH}=\overline{EX}\)
\(\begin{align}
  & \overline{PI}+\overline{EY}=2\overline{NJ}=2\overline{NK}=\overline{PG}+\overline{EZ} \\
& \overline{PG}+\overline{PH}+\overline{EY}=\overline{PG}+\overline{EZ} \\
& \overline{EX}+\overline{EY}=\overline{EZ} \\
\end{align}\)