對任意兩相異無理數 a, b (不失一般性，可假設 a < b)
求證：在 a ,b 之間必存在有另一無理數
證明：
因為 b-a>0 ，由阿基米德性質，必存在正整數 k 使得 k(b-a)>1
(上面那句就是說，也就是不管多小的正數 (b-a) ，累加 k 次之後，一定可以變的比 1 單位長來得大。
阿基米德性質，簡而言之，就是任何一個正實數經過有限次自己加自己之後，可以超過任何其他一個實數。)
兩邊同除 k ，可得 b-a > 1/k > 0
兩邊同時加上 a ，可得 b > a+ 1/k > a
故 a+ 1/k 在 a ,b 之間，且為無理數。得證。
(Note: 無理數+有理數 = 無理數，可以經由矛盾証法証得。
簡單證明一下：
如果 "無理數a + 有理數1/k = 有理數c"，經由兩邊同減 1/k ，
可得 "無理數a= 有理數c- 有理數1/k=有理數相減還是有理數" ，故矛盾。)
