以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數57分
80,64,64,64,62,60,59,59,57,57

其他
50~56分 10人
40~49分 16人
30~39分 12人
20~29分  6人
10~19分  5人
0~ 9分   0人
缺考　　 0人

共計 59 人

請益填4和計算2

填充4
已知\( \cases{x^3-xyz=2 \cr y^3-xyz=6 \cr z^3-xyz=20} \)，其解\( (x,y,z)=(a,b,c) \)，試求\( a^3+b^3+c^3 \)的最大值

計算2
已知\( a、b、c、d \)為正實數，且\( a>b \)，若\( a^2+ab+b^2=c^2-cd+d^2=1 \)，\( \displaystyle ac+bd=\frac{2}{\sqrt{3}} \)，試求\( 21 \cdot (a^2+b^2+c^2+d^2) \)。

填充第 4 題
2010 AIME Problem 9
http://www.artofproblemsolving.c ... 010_AIME_I_Problems

謝謝老師
計算2
我的想法是把a,b,c,d看成園內接四邊形的四個邊長
恰好有60度和120的對角互補
對角線有一條是1
另一條ac+bd正好可用托勒密算出另一條對角線長

可是這樣跟所求四邊平方合的關係是什麼就想不到了><
請眾老師提點!!
謝謝

之前臉書上有朋友問類似的問題：

ffbb.jpg (189.29 KB)

2015-8-17 07:44

相關討論串(要加入該FB社團才看的到)：https://www.facebook.com/groups/ ... nk/447586282090765/

謝謝老師!!!!!!!!!
我看到那個外國人的解法了哈
差了最後一步

回復 4# leo790124 的帖子

個人覺得 leo 老師的構思非常精巧，是可行的。論證如下，請各位高明看看是否成立。

104高餐大附中計算第2題1.png (3.2 KB)

2015-8-30 20:51

如上圖，AC 是圓 O 的直徑，BD 為一弦，則 a² + b² + c² + d² = 2*AC² (半圓含直角)，與 BD 之長度，位置無關。
(若 AC 與 BD 皆為非直徑的弦，則即使 AC 與 BD 長度固定，a² + b² + c² + d² 並不是定值)

因若 a, b, c > 0，且滿足 a² + b² - 2ab*cosθ = c² (0 < θ < 180°)，則 a, b, c 必可構成一三角形，且 a, b 邊之夾角為 θ ;
所以我們可以不失一般性地，把題目條件構成如下圖，使 BD = 1，∠BCD = 120°，∠BAD = 60°；則 A, B, C, D 共圓 (O 是圓心)，且該圓半徑 = 1/√3 (∠BOD = 120°)。

104高餐大附中計算第2題2.png (3.67 KB)

2015-8-30 20:51

由托勒密定理，AC*BD = ac + bd ⇒ AC = 2/√3，故 AC 是直徑。則依上文紅字部分所述， a² + b² + c² + d² = 2*AC² = 8/3 。

請問有這份試卷的答案嗎?
我記得當時有公布可是我檔案不見了
懇請有檔案的大大們提供 感激不盡