自然數列\(\displaystyle \{\;a_n \}\;_{n=1}^{100}\)的項中，任取\(k\)個，則
(1)若\(k\)個中任兩個均不相鄰，則\(k\)最多是多少
(2)若\(k\)個中恰兩個相鄰，其他任兩個均不相鄰的機率為何。
[解答]
(1)\(\displaystyle C_{k}^{100-k+1}=C_k^{101-k}\)，但\(100-k\ge k\Rightarrow k\le 50.5\)，故\(k\)最大為50
(2)\(\displaystyle \frac{C_{k-1}^{101-k}(k-1)}{C_k^{100}}\)
一直想不懂它一二小題的答案是怎麼想出來的，謝謝

(1)
不用像他那樣寫成組合數，以下這樣即可
k個數，其中任2個均不相鄰
先用(k-1)個數把它們隔開
故
\(\begin{align}
  & k+\left( k-1 \right)\le 100 \\
& k\le 50.5 \\
\end{align}\)

k的最大值為50

(2)
k個數，其中恰2個數相鄰，其餘任2個數均不相鄰，有(k-1)種情形
下圖是k=10的9種情形
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由於除了恰2個數相鄰外，其餘任2個數均不相鄰，故先用(k-2)個數把它們隔開
至此已用了k+(k-2)=(2k-2)個數，剩100-(2k-2)=(102-2k)個數
把這(102-2k)個數插入k個空隙中有\(H_{102-2k}^{k}=C_{102-2k}^{101-k}=C_{k-1}^{101-k}\)種方法
故所求\(=\frac{C_{k-1}^{101-k}\left( k-1 \right)}{C_{k}^{100}}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-7-5 05:27 PM 編輯 ]

我猜作者的邏輯是這樣:

(1)先考慮 " k個中任兩個均不相鄰的方法數"，若其 > 0，則此 k 值存在。

以下採 "先排序，後編號" 之法，先從 100 個(相同球)取出 k 個，剩 (100 - k) 個，將前者插入後者形成的 (100- k+1) 個間隔(含首尾)即可對應一種方法，故有
C(100-k+1, k) 種方法。若且唯若 101-k ≥ k 時所求值存在(且 > 0)，所以 k 最大為 50。

感覺上亦可逕用"鴿籠原理": 50 個鴿籠如下: (1,2)，(3,4)，...(99,100)。因各籠至多取 1 個，故 k ≤ 50。又全取奇數(或偶數)可使 k = 50，所以 k 最大為 50。

(2)作者採與 (1) 類似的邏輯: 先取出 k 個，其中 2 個綁在一起，形成 (k-1) 個，再插入所剩者形成的 (101- k) 個間隔，並指定其中一個間隔放"綁在一起"者，即為分子部分。  (不過題目最好限制 k 的範圍:  k ≤ 51)。

謝謝thepiano老師 和cefeprime老師
我懂了

謝謝