設RT三角形ABC中，D為斜邊AB上的任意一點，求證: (CD*AB)^2 = (AD*BC)^2+(BD*AC)^2
並指出勾股定理是其特殊情形

直角三角形.png (1.81 KB)

2015-6-14 06:43

曾有老師提示過，中學常見的「幾何證題方法」有：(1) 綜合法 (2) 坐標法 (3) 向量法 (4) 三角法
這題用 "綜合法(利用相似形)" 或 "坐標法" 並不太複雜，不過用 "向量法" 可以精簡些。

由分點公式:

向量CD = (AD/AB)*向量CB + (BD/AB)*向量CA   

等號兩邊分別與自己內積:

CD² = (AD/AB)²BC² + (BD/AB)²AC²  

兩邊再同乘 AB²，即得:
(CD*AB)² = (AD*BC)² + (BD*AC)²
當 D 為 AB 中點時， 因 CD = AD = BD，故

AB² = BC² + AC² (勾股定理)

由證明過程，知 D 可為 AB "直線"上任一點。