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函數百問 函數?

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函數百問 函數?

何謂函數?

函數的平移? 伸縮? 對稱?

何謂奇函數? 何謂偶函數? 何為反函數?  

一次函數是什麼? 圖形?

二次函數是什麼? 圖形?

三次函數是什麼? 圖形?

絕對值函數?

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引用:
原帖由 futureyesi 於 2007-7-29 03:37 PM 發表
何謂函數?
函數就是把某集合裡的元素,對應到另一個集合裡的元素的關係,

如果函數 f 把集合 A 裡的元素,對應到集合 B 裡的元素,

則稱 A 為定義域,B 為對應域。

函數 f 必定要滿足

  (i) 定義域 A 裡面的每個元素都要可以對應出去,也就是"在 A 裡面的每個元素,都要有一個B 裡面的元素與之相對應。"

  (ii)函數的對應不可以一對多,也就是,"在 A 裡面的每個元素,至多只能有一個 B 裡面的元素與之相對應。"

如果函數 f 把定義域 A 裡面的元素 x ,對應到對應域 B 裡面的元素 y 的話,就記作是 f(x)=y ,或是 f : x → y 。
引用:
函數的平移? 伸縮? 對稱?
若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上,將 y=f(x) 圖形向右平移 h 單位長後,

欲求平移後的圖形的方程式表示法,可以假設經平移後的圖形上有點 (x0,y0)

則,將 (x0,y0) 向左平移 h 單位長,得點 (x0-h,y0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式,

故 y0 = f(x0-h) ,意即平移後的點要滿足的方程式為 y=f(x-h)。







若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上,將 y=f(x) 圖形向上平移 h 單位長後,

欲求平移後的圖形的方程式表示法,可以假設經平移後的圖形上有點 (x0,y0)

則,將 (x0,y0) 向下平移 h 單位長,得點 (x0,y0-h) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式,

故 y0-h = f(x0) ,意即平移後的點要滿足的方程式為 y-h=f(x)。














若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上,將 y=f(x) 圖形上的點 y 座標不變,x 座標放大為原來的 k 倍,

欲求伸縮後的圖形的方程式表示法,可以假設經伸縮後的圖形上有點 (x0,y0)

則,將 (x0,y0) 的 y 座標不變,x 座標縮小為原來的 1/k 倍,得點 (x0 / k ,y0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式,

故 y0= f(x0/k) ,意即伸縮後的點要滿足的方程式為 y=f(x / k)。









若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上,將 y=f(x) 圖形上的點 x 座標不變,y 座標放大為原來的 k 倍,

欲求伸縮後的圖形的方程式表示法,可以假設經伸縮後的圖形上有點 (x0,y0)

則,將 (x0,y0) 的 x 座標不變,y 座標縮小為原來的 1/k 倍,得點 (x0 ,y0 / k ) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式,

故 y0 / k = f(x0) ,意即伸縮後的點要滿足的方程式為 y / k =f(x)。








若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上,將 y=f(x) 圖形經對稱 x 軸而得新圖形,

欲求對稱後的圖形的方程式表示法,可以假設經對稱後的圖形上有點 (x0,y0)

則,將 (x0,y0) 經反對稱 x 軸,得點 (x0 , - y0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式,

故 - y0= f(x0) ,意即對稱後的點要滿足的方程式為 - y=f(x)。










若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上,將 y=f(x) 圖形經對稱 y 軸而得新圖形,

欲求對稱後的圖形的方程式表示法,可以假設經對稱後的圖形上有點 (x0,y0)

則,將 (x0,y0) 經反對稱 y 軸,得點 (-x0 ,y0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式,

故 y0= f(-x0) ,意即對稱後的點要滿足的方程式為 y=f(-x)。








若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上,將 y=f(x) 圖形經對稱 x=y 直線而得新圖形,

欲求對稱後的圖形的方程式表示法,可以假設經對稱後的圖形上有點 (x0,y0)

則,將 (x0,y0) 經反對稱 x=y 直線,得點 (y0, x0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式,

故 x0= f(y0) ,意即對稱後的點要滿足的方程式為 x=f(y)。

(因原函數可能有多對一的情形,故對稱x=y直線後, y 不見得仍為 x 的函數)









若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上,將 y=f(x) 圖形經對稱原點 (0,0) 而得新圖形,

欲求對稱後的圖形的方程式表示法,可以假設經對稱後的圖形上有點 (x0,y0)

則,將 (x0,y0) 經反對稱原點 (0,0) ,得點 (-x0, -y0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式,

故 -y0= f(-x0) ,意即對稱後的點要滿足的方程式為 -y=f(-x)。
引用:
何謂奇函數? 何謂偶函數? 何為反函數?  
奇函數:若函數 f 滿足 f(-a) = -f(a) (帶負數、帶正數進去,出來的結果會恰好只差一個負號),則稱 f 為奇函數。

例如: f(x) = x^3 ,帶入 2 與 -2 看看, f(2)=8, f(-2) = -8,帶進去的東西只差在異號,出來的結果也恰好只差在異號而已。




偶函數:若函數 f 滿足 f(-a) = f(a) (帶負數、帶正數進去,出來的結果卻都一樣),則稱 f 為偶函數。

例如: f(x) = x^2 ,帶入 2 與 -2 看看, f(2)=4, f(-2) = 4,帶進去的東西只差在異號,出來的結果卻剛好相等。




反函數:已知函數 f 由定義域 A 映至對應域 B ,如果恰恰好能找到另外一個函數 g ,蠻足 g 由 B 映至 A ,且

    滿足條件 (i) 若 f(a)=b ,則 g(b)=a

    以及條件 (ii) 若 g(b)=a ,則 f(a)=b

    (也就是 f,g 剛剛好都做相反的動作)

    則稱 f 與 g 互為對方的反函數。

例如,f(x)= 2x+1 (f把丟給它的數據,都乘以兩倍,並且加上一),g(x)=(x-1)/2(g把丟給它的數據,都減掉一,然後除以二)

   f 與 g 互為對方的反函數。
引用:
一次函數是什麼? 圖形?
形如 f(x) = ax+b (其中a,b 都是實數,且 a≠0) 的函數,因為 x 的最高次方數恰好等於 1 ,所以稱作是一次函數。

y=f(x)=ax+b 的圖形,是一條直線(但因為a≠0所以不是水平線;也不是鉛錘線。)
引用:
二次函數是什麼? 圖形?
形如 f(x) = ax^2+bx+c (其中a,b,c 都是實數,且 a≠0) 的函數,因為 x 的最高次方數恰好等於 2 ,所以稱作是二次函數。

y=f(x)=ax^2+bx+c 的圖形,是一條拋物線(也就是只有一個凹口的圖形,若 a>0 則開口凹向上,若 a<0 則開口凹向下。)
引用:
三次函數是什麼? 圖形?
形如 f(x) = ax^3+bx^2+cx+d (其中a,b,c,d 都是實數,且 a≠0) 的函數,因為 x 的最高次方數恰好等於 3 ,所以稱作是三次函數。

y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 的圖形,若 a>0 ,則圖形一條由左下至右上的曲線,可能有凹口,也可能沒有凹口,至多有兩個凹口;

              若 a<0  ,則圖形一條由左上至右下的曲線,可能有凹口,也可能沒有凹口,至多有兩個凹口。
引用:
絕對值函數? ...
絕對值函數就是絕對值,如果 a≧0 ,則 |a|=a ;如果 a<0 ,則 |a|=-a。

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