分享13題的一個想法
\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{12})^2 \)求\(x^{24}\)項的係數
[解答]
其中\((1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{12})^2 \)展開後是一個24次的多項式 裡面任一項
皆可在\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})\)中恰找到一項 使其展開後冪次為\(x^{24}\)又\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})\)中每項係數皆為1
故\(x^{24}\)之係數被\((1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{12})^2\)展開後的係數所決定
因此\( x=1\)代入\((1+x+x^2+x^3+\ldots+x^12)^2\)得\(13^2=169\)

想請教#4:算得 |1/1+2p|<1  似乎少考慮了甚麼
#6
#7
#11   
#12(用取捨原理算300 不知哪裡少算)
#15
#16
#17
#18  
抱歉..有點多不知怎下手...先謝謝願意分享思路的老師們了!

引用:

原帖由 瓜農自足 於 2015-4-21 04:03 PM 發表
想請教#4:算得 |1/1+2p|

第4題:
設\(tan \alpha\),\( tan \beta \)為方程式\(x^2+(2p-1)x+4p^2=0\)之二根，若\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}tan^k(\alpha+\beta) \)之值存在，則\(p\)之範圍為　　　。
[提示]
還有方程式的判別式可以用

第6題:
圓心在\(y\)軸上，且與雙曲線\(\displaystyle x^2-\frac{y^2}{4}=1\)及直線\(y=4\)均相切的圓之半徑為　　　。
[提示]
圓心假設\((0,b)\),圓方程式\(x^2+(y-b)^=(4-b)^2\)帶到雙曲線得到\(y\)的一個方程式
然後因為圓和雙曲線會有兩個切點(而且是對\(y\)軸對稱),所以切點\(y\)座標只有一個,所以把上述算出來的\(y\)的方程式用判別式\(=0\)解\(b\)

第7題:
設\(2a+2b+2c+2d=11\)，\(2(a+b)(c+d)=5\)，則\(log(a+b)^2 log(c^2-d^2)-log(a+b)log(c-d)^2\)之值為　　　。
(計算至小數第四位，第五位以下無條件捨去，\(log2=0.301,log3=0.4771\))
[提示]
所求化簡一下可以得到\(2log(a+b)log(c+d)\)
假設\(A=a+b, B=c+d\),用題目給的條件解出\(A,B\)

11題:
滿足\(x+y+z+w=xyzw\)的正整數\(x,y,z,w\)解有　　　組。
[提示]
考古題,把題目一字不漏的丟到google一下就找到了

18題:
設實係數多項式\(f(x)\)滿足\(\displaystyle x^2 f(x)=\frac{3}{5}x^5+\frac{1}{2}ax^4-\frac{1}{3}x^3+2 \int_0^x t f(t)dt\)，\(f(0)=0\)，若曲線\(y=f(x)\)與\(x\)軸所圍成的區域面積記為\(S(a)\)，則\(S(a)\)之最小值為　　　。
[提示]
上一頁有我的想法可以看一下

第 12 題
將\(AAABBCCD\)共八個字母排成一列，同字母不相鄰的排列方法有　　　種。

去年台中女中考過，這題只是把 2 個 a、3 個 b，改成 3 個 a、2 個 b 而已
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... amp;start=10#p11646

15 題
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(x)\)之極大值為\(A\)，\(f(x)\)之極小值為\(B\)，且\(f(x)\)的一階導函數\(f'(x)\)之最小值為\(C\)，則\(A-B+C\)之最小值為　　　。
[解答]
透過平移(左右移，不改變 A, B, C)，不失一般性可假設 \( f(x) = x^3 + dx + e \)

則 \( f'(x) = 3x^2 +d \)，因函數 \( f \) 有極大、極小值，故 \( d<0 \)，不妨令 \( d = -3t^2 \)，其中 \( t>0 \)

則 \( A = f(-t), B = f(t), C = -3t^2 \), \( A-B+C = 4t^3 - 3t^2 \)

透過微分計算，可知 \( A - B +C \) 在 \( t = \frac12 \) 時有最小值 \( -\frac14 \)。


16 題
正數\(x,y\)滿足\(ax+by \le 1\)，其中\((log a)^2+2log b=1\)，若\(xy\)之最大值為\(M\)，則\(M\)之最小值為　　　。
[解答]
首先先搞清題意，\( xy \) 的最大值為 \( M \)，這句的意思是說
「固定一組 \( (a,b) \)，在 \( x,y \) 為正數且滿足 \( ax+by\leq 1 \) 的情況下，所得到的 \( xy \) 最大值，即為 \( M = M(a,b) \)」

由算幾不等式有 \( \frac 12 \geq \frac{ax+by}{2} \geq \sqrt{axby} \Rightarrow xy \leq \frac1{4ab} \)
其等號在  \( x= \frac1{2a}, y =\frac1{2b} \) 時成立，故 \( M(a,b) = \frac1{4ab} \)

而 \( a,b \) 的限制條件為 \( (\log a)^2 + 2 \log b =1 \)

故取 \( \log M(a,b) = -\log 4 -\log a - \log b \) ( a,b 為限制條件中的真數必為正，故 M 亦正)

令 \( A = \log a \)，以 \( \log b = \frac{1-A^2}{2} \) 代入 \( \log M(a,b) \) 得 \( \log M(a,b) = - \log 4 - A - \frac{1-A^2}{2} \)

配方可得 \( A = 1 \) 時 \( \log M(a,b) \)，此時 \( M(a,b) \) 亦達有最小值 \( \frac1{40} \)

15題平移的方法太漂亮了，請容許我寫進詳解裡

不好意思信哥

想跟您請教一下第13題

\((1+x+...+x^{25})(1+x+...+x^{12})^2\)中展開後\(x^{24}\)的係數

可以考慮成\(a+b+c=24 \)的非負數整數解\(a=0\sim 25,b=0\sim 12,c=0\sim 12\)

這部分都可以理解

但是\(H(3,25)-2H(3,12)\)這就不太懂了 請幫指點迷津 感恩!!

喔，就只是單純的打錯了0.0
應該是三個數字加起來為24，減掉\(b\ge 13\)或\(c \ge 13\)的結果
\( H(3,24)-2H(3,11) \)

原來如此
因為我用\(H(3,25)-2H(3,12)\)去算答案也是169所以才問的
感謝信哥！

請問以下這一題：
一副 52 張的撲克牌, 點數有\( A,2,3,...,K \)各 4 張, 經隨機洗牌後, 求前二張有\( A \)或最後一張是\( A \)點的機率為?

我的作法是
\( \displaystyle \frac{C(4,2)\cdot 2!\cdot 50!+C(4,1)\cdot 51!-C(4,2)\cdot 2!\cdot C(2,1)\cdot 49!}{52!}\),
可以麻煩老師幫我指正嗎?