題目：一杯珍珠奶茶有10顆紅珍珠，盤子裡有20顆綠珍珠，
　　　每次吸起珍珠奶茶的一顆珍珠，然後放入一顆綠珍珠，
　　　持續下去，則吸起杯中最後一顆珍珠為綠色的機率為何？

解題想法：先算吸了 20 口之後～杯中綠珍珠個數的期望值～然後再求最後一球是綠色的機率。

解：

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2015-4-14 17:37

註：這是朋友問的題目，解完順便放上來，覺得應該有其他作法。

然後剛剛把它一般化，若紅球數為 \(a\)，綠球數為 \(b\)，則最後一球為綠球的機率為 \(\displaystyle 1-\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\) 。

請教以下想法是否可行:

因為紅珍珠的變動較單純，不妨以紅珍珠為主角思考。

P(最後一顆為綠色)

= 1 - P(最後一顆為紅色)

= 1 - 10*P(最後一顆為某顆指定的紅色) (周延互斥)

= 1 - 10*(9/10)²°*(1/10) (說明: 在每一次"吸1加1"的步驟中，某顆指定的紅珍珠留在杯中的機率 = 9/10，共20次; 再之後杯中存留的10顆珍珠成為最後一顆的機率皆為 1/10)

= 1 - (9/10)²°

依此類推，一般化情形亦如 weiye 老師所述。