試找出所有整數對(x,y)滿足等式
x^2+x=y^4+y^3+y^2+y

要怎麼下手?
請幫幫忙!

\( x^{2}+x=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y
  \Rightarrow(2x+1)^{2}=4y^{4}+4y^{3}+4y^{2}+4y+1 \)
  
令 \( f(y)=4y^{4}+4y^{3}+4y^{2}+4y+1 \)，則 \( f(y)<(2y^{2}+y+2)^{2} \), for all \( y\in\mathbb{R} \)

\( f(y)-(2y^{2}+y)=3y^{2}+4y+1=(3y+1)(y+1) \), \( \Rightarrow f(y)\geq(2y^{2}+y)^{2} \), for \( y\in\mathbb{Z} \). 且其等號僅在 \( y=-1 \) 時成立。

若 \( y\neq-1 \)，則 \( (2y^{2}+y)^{2}<(2x+1)^{2}=4y^{4}+4y^{3}+4y^{2}+4y+1<(2y^{2}+y+2)^{2} \)

又 \( 2y^{2}+y, 2x+1, 2y^{2}+y+2 \) 皆整數，故 \( 2x+1=\pm(2y^{2}+y+1) \).

... 剩下的自己做吧

[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-1-28 07:03 PM 編輯 ]

\(\begin{align}
  & x\left( x+1 \right)=y\left( y+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right) \\
& \left( x,y \right)=\left( 0,0 \right),\left( 0,-1 \right),\left( -1,0 \right),\left( -1,-1 \right) \\
&  \\
& {{x}^{2}}+x-\left( {{y}^{2}}+y \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)=0 \\
& \left[ x+\left( {{y}^{2}}+y \right) \right]\left[ x-\left( {{y}^{2}}+1 \right) \right]=0 \\
& {{y}^{2}}+y={{y}^{2}}+1+1 \\
& y=2 \\
& \left( x,y \right)=\left( 5,2 \right),\left( -6,2 \right) \\
\end{align}\)

請問thepinao老師
倒數第三列如何得到的

常數項\(\left( {{y}^{2}}+y \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)\)拆成\(\left( {{y}^{2}}+y \right)\)和\(\left( {{y}^{2}}+1 \right)\)相乘
要配出x項係數1，故\(\left( {{y}^{2}}+y \right)\)比\(\left( {{y}^{2}}+1 \right)\)大1

thank you
了解

謝謝!!