(以下解法若有錯誤,或另有更佳解法,敬請不吝提出)
想法: 利用等差級數和的性質,考慮正整數 n 的充要條件。
n = 等差級數和 = 中位數(M)*項數(N),因此 1 種接續正奇數之和表示法,對應 1 種"兩個正整數的乘積(M*N)",但反之不然,因為要符合:
1. 各項皆 >0,即 M > N-1。
2. 各項皆為奇數,即 M, N 奇偶性相同。
亦即,任取兩個奇偶性相同的正整數 M, N,即恰對應一個"接續正奇數之和表示法"。以下分為 a. M, N 皆奇數,與 b. M, N 皆偶數 討論。
a. M, N 皆奇數
以 n 的標準分解式思考: 考慮 n 可分為幾種"奇*奇"的情形與因數個數間的關係。因 n 恰可以表示成 5 種接續正奇數之和,即恰對應 5 組相異的 (M, N),亦即 n 恰有 10 或 9 個因數。
再考慮 n (<1000) 的標準分解式中質因數的冪次為 (1,4) 或 (2,2),得 n 有 5 個: 3⁴*5, 3⁴*7, 3⁴*11, 3²*5², 3²*7²
b. M, N 皆偶數
以 n 的標準分解式思考: 考慮 n 可分為幾種"偶*偶"的情形與因數個數間的關係。
先各分 1 個 "2" 給 M 與 N,則剩下的部分必恰有 10 或 9 個因數 (方可構成 5 組"偶*偶")。再考慮 n/4 (<250) 的標準分解式中質因數的冪次為 (1,4) 或 (2,2),得 n /4 有 10 個: 2⁴*3, 2⁴*5, 2⁴*7, 2⁴*11, 2⁴*13, 2*3⁴, 2²*3², 2²*5², 2²*7², 3²*5²。
所求 = a. + b. = 15 (個)