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請教一題2015apmo試題

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請教一題2015apmo試題


在凸四邊形\(ABCD\)中,\( ∠ABD=∠CBD=∠ADC=45^{\circ} \),\( \overline{AB}=a \),\(  \overline{BC}=b\),\( \overline{CD}=c \),\( \overline{DA}=d \)(\( a \ne b \))。試問\( \displaystyle \frac{a^2-b^2}{c^2-d^2} \)之值的範圍?


103.12.23版主補充
補上題目pdf檔
http://imotwn.stat.ncu.edu.tw/news_detail.php?sn=111

附件

2015APMO初選考試(解答).pdf (128.15 KB)

2014-12-23 23:30, 下載次數: 1944

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回復 1# hugo964 的帖子

暴力法:不失一般性假設 \( \overline{BD} = 1, \angle ADB = 22.5^\circ + \theta \)

由正弦定理可用 \( \sin, \cos, \theta \),和角、差角表示四邊 a,b,c,d

和差化積、積化和差,(這不是什麼好方法,計算過程就算了吧,沒什麼意義)一番化簡可得,該比值 \(  = \sqrt{2} \cos 2\theta \)

故得範圍為 \( (1,\sqrt{2}) \)。

等樓下的幾何解
網頁方程式編輯 imatheq

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(原題目打字有漏,請參考附件中的題目檔)


基本想法: 依題目角度引入輔助圓,再利用輔助圓的半徑聯繫題目的條件。


1. 作對角線 AC 與 BD。以 AC 為直徑作一圓 C1 (令其半徑 = r) ,其與對角線 BD 交於 B ,O 兩點。其中 O 點平分 AC 弧 (因∠OBA =∠OBC)。


2.  再以 O 為圓心,OA (= OC) 為半徑作另一圓 C2,則其半徑 = √2 r。那麼 D 將位於 C2 之優弧 AC上 (因 C2 之劣弧 AC = 90°,而∠ADC = 45°)。


3. 令 ∠ACB = θ,0 < θ < 90°,且 θ ≠ 45°,則∠BDC = ∠BOC /2 = ∠BAC /2 = 45°- (θ/2),從而 ∠ADB = θ/2。


4. a = 2r*sinθ,b = 2r*cosθ,c = 2*√2 r*cos(45°- (θ/2)),d = 2*√2 r*cos(θ/2)。


5. 所求 (a² - b²) / (c² - d²)


= (sin²θ - cos²θ) / [2cos²(45°- (θ/2)) - 2cos²(θ/2)]


= (sin²θ - cos²θ) / [cos(90°- θ) +1 - cosθ -1]


=  (sin²θ - cos²θ) / (sinθ - cosθ) (0 < θ < 90°,且 θ ≠ 45°)


= sinθ + cosθ


= √2sin(θ+45°)


又 45° < θ+45° < 135°,且 θ+45° ≠ 90°,故 (1/√2) < sin(θ+45°) < 1,即 1< (a² - b²) / (c² - d²) < √2 。




心得:
1. 題目有不固定的圖形,但有固定的角度時,可考慮引用輔助圓。
2. 以某線段為弦的圓弧有無限多個;但若圓弧角度確定時,則恰有 2 個。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-1-28 09:11 PM 編輯 ]

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