可以請教一下   問題一的第4題如何解嗎?

令
\(\begin{align}
  & f\left( a \right)=\left( a-1 \right)\left( a-9 \right)\left( a-25 \right)\left( a-49 \right) \\
& -{{x}^{2}}\left( a-9 \right)\left( a-25 \right)\left( a-49 \right)-{{y}^{2}}\left( a-1 \right)\left( a-25 \right)\left( a-49 \right) \\
& -{{z}^{2}}\left( a-1 \right)\left( a-9 \right)\left( a-49 \right)-{{w}^{2}}\left( a-1 \right)\left( a-9 \right)\left( a-25 \right) \\
\end{align}\)
則
\(f\left( a \right)=0\)的四根為4，16，36，64
由根與係數
\(\begin{align}
  & 1+9+25+49+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{w}^{2}}=4+16+36+64 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{w}^{2}}=36 \\
\end{align}\)

謝謝thepiano老師.   
原來要用根與係數解啊.
不過原樣挺嚇人的.

請教一下第三題 求最大角
算出三個角 tangent  的平方和與相乘的值
接下來就沒頭緒了

謝謝

再算出兩兩相乘，利用根與係數寫出三次方程式，解方程可知答案是 135 度

試解第3題:


利用:


△ABC中，tanA + tanB + tanC = tanA*tanB*tanC (由和角公式)


乘法公式: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)³ - 3(a+b+c)(ab+bc+ca)


因此:


tanA + tanB + tanC = tanA*tanB*tanC = -1/6


tanA*tanB + tanB*tanC + tanC*tanA = [(-181/216) + (1/2) + (1/216)] *2 = -2/3  


即 tanA, tanB, tanC 是下列方程式之三根:


6x³ + x² - 4x +1 = 0


x = -1 為鈍角，即所求 = 3π/4


-------------------------------------------


作為填充題，本題給了學生取巧的空間: 因答案極可能是特殊角，而 -1 由於計算方便，往往被第一個嘗試，即得答案。

謝謝
我昨日是用和角與差角去想,就卡住了

關於[問題六] (最後一題)，個人有個疑問，想請教各位的意見。


我的想法如下:


題目欲證 P,Q,R 三點共線，即證: ∠PQR = 180°


基於經驗，這種"以邊作正三角形"的題目，往往可以與"旋轉60°"聯想。


△CDA 中，以 C 點為固定點，逆時針旋轉60°，則成 △CQP，因此 ∠CDA = ∠CQP (逕用 △CDA 全等於 △CQP 亦可)


△DCB 中，以 D 點為固定點，順時針旋轉60°，則成 △DQR，因此 ∠DCB = ∠DQR


∠PQR = (∠CQP + ∠DQR) - ∠CQD = (∠CDA + ∠DCB) - ∠CQD = (360° - 120°) - 60° = 180°，得證。


(若 ABCD 是凹四邊形，用同法亦得相同結果)


-----------------------------------------------------------------


我的疑問如下:


上述方法，完全沒有用到 AD = BC 這個條件。經驗上一個設計良好的題目，不會有多餘的條件，所以不禁懷疑是否上面的方法有不嚴謹處。


請各位賜教，謝謝!

要證明 P、Q、R 共線，的確用不到 AD = BC 這個條件
它是要證明 △AQB 是正三角形才會用到

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-12-18 08:06 AM 發表
要證明 P、Q、R 共線，的確用不到 AD = BC 這個條件
它是要證明 △AQB 是正三角形才會用到

原來如此，謝謝鋼琴老師的指導!

另外對於[問題五]，個人認為可以推廣如下:

若 n∈N，則 √n - √(n-1)  的每個正整數冪都是形如 √m - √(m-1)，其中 m 是某個正整數。