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\((1+x+x^{2}+...+x^{9})(x+x^{2}+...+x^{9})^{3}\)

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\((1+x+x^{2}+...+x^{9})(x+x^{2}+...+x^{9})^{3}\)

老師您好
想請教以下問題
\((1+x+x^{2}+...+x^{9})(x+x^{2}+...+x^{9})^{3}\)
\(x^{12}\)的係數
謝謝老師

[ 本帖最後由 martinofncku 於 2014-12-11 11:03 AM 編輯 ]

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回復 1# martinofncku 的帖子

\(\begin{align}
  & \left( 1+x+{{x}^{2}}+\cdots +{{x}^{9}} \right){{\left( x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+\cdots +{{x}^{9}} \right)}^{3}} \\
& ={{x}^{3}}\left( 1+x+{{x}^{2}}+\cdots +{{x}^{9}} \right){{\left( 1+x+{{x}^{2}}+\cdots +{{x}^{8}} \right)}^{3}} \\
\end{align}\)
原題即求\(\left( 1+x+{{x}^{2}}+\cdots +{{x}^{9}} \right){{\left( 1+x+{{x}^{2}}+\cdots +{{x}^{8}} \right)}^{3}}\)之\({{x}^{9}}\)的係數
轉化成以下整數解之組數
\(\begin{align}
  & 0\le a\le 9 \\
& 0\le b\le 8 \\
& 0\le c\le 8 \\
& 0\le d\le 8 \\
& a+b+c+d=9 \\
\end{align}\)
所求\(=H\left( 4,9 \right)-3=217\)

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先謝謝老師的回覆。
不過, 我是為了求解如下的問題:
『n為四位數, 且各位數字和恰為12, 試求n有幾個?』,
才用如題目所示的式子, 而且還用了
\(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12\),
(上課了, 我等會才補完)

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回復 3# martinofncku 的帖子

這題出自 100 香山高中,不用轉成求係數去做
可參考 weiye 老師的妙解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=3#pid4642

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回復 4# thepiano 的帖子

謝謝老師的回覆。
不過恕我把上面的補完:
\(1\leq x_{1}\leq 9,0\leq x_{1},x_{2},x_{3}\leq 9,\)
如此列的式子對嗎?
(不過我想應該是不對, 不然不會答案不對...)

[ 本帖最後由 martinofncku 於 2014-12-11 03:23 PM 編輯 ]

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回復 5# martinofncku 的帖子

改成\(\left( x+{{x}^{2}}+\cdots +{{x}^{9}} \right){{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+\cdots +{{x}^{9}} \right)}^{3}}\)就對了

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回復 6# thepiano 的帖子

我知道我那寫錯了, 謝謝老師。
想請問老師, 如果沒轉換成 weiye 老師的解法, 那我應該如何算出上述的答案呢?

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回復 7# martinofncku 的帖子

還是要轉換,不然就用電腦算囉

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