請問一下高中學力競賽中的兩題題目!!謝謝!!
33k=0C3k101−C3k100+C3k99= 

設數列an：1214385，亦即a1=1a2=21，之後，每一項都是前兩項的算術平均數。若極限limnan存在，則limnan=

幫打字
33k=0C3k101−C3k100+C3k99 

法1. 二項式定理，考慮 (1+x)nn=99100101x=12 相加除以3，其中 =2−1+3i 。

法2. For k1C3k101−C3k100+C3k99=C1003k−1+C3k99=C993k−2+C993k−1+C3k99

設數列 an:  1214385，亦即 a1=1a2=21, 之後，每一項都是前兩項的算術平均數。若極限 limnan 存在，則 limnan=?

樓主可以的話，順帶註記一下年份地區，謝謝

第一題是101年第三區新竹高中(筆試二)
第二題是 99年第三區新竹高中(筆試二)

第2題
用特徵方程式，可得an=32−32−21n 

謝謝,第一題我之前也想到要代入w,但沒有相對代入1,和w的平方去除以3,現在懂了,謝謝高手~

第2題用數線觀察好像也蠻簡明的:

依序在數線標出 a1,a2,a3... 的位置(依序取末2點之中點)，不難體會所求

=  1-1/2+1/4-1/8...(無窮等比級數和: 首項 = 1, 公比 = -1/2)
=  1 / [1-(-1/2)]
=  2/3

此法亦可得知一般項 = (2/3) - (2/3)*(-1/2)ⁿ


另外不使用"求和/極限值"的觀察法:

考慮一新數列，其各項依次為原數列各項之2倍:

2，1，3/2，5/4...

則新數列極限值亦為原數列極限值之2倍。

以數線觀察，知新數列之第 n+1 項與原數列之第 n 項對稱於 "1" 這點，故新數列極限值亦與原數列極限值對稱於 "1" 這點 (即以"1"為中點)。

令原數列極限值 = x，則:

x + 2x = 2

得 x = 2/3。