請問一下高中學力競賽中的兩題題目!!謝謝!!
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{33}\left(C_{3k}^{101}-C_{3k}^{100}+C_{3k}^{99}\right)=\)

設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)：\(\displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{8},\ldots\)，亦即\(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{2}\)，之後，每一項都是前兩項的算術平均數。若極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)存在，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)

幫打字
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{33} \left( C^{101}_{3k}-C^{100}_{3k}+C^{99}_{3k} \right ) \)

法1. 二項式定理，考慮 \( (1+x)^n, n=99,100,101, x=1,\omega, \omega^2 \) 相加除以3，其中 \( \omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)。

法2. For \( k \geq 1, C^{101}_{3k}-C^{100}_{3k}+C^{99}_{3k} = C^{100}_{3k-1} + C^{99}_{3k} = C^{99}_{3k-2} + C^{99}_{3k-1} + C^{99}_{3k} \)

設數列 \( \displaystyle \left< a_n \right>:  1,\frac12,\frac34,\frac58,\ldots\ldots \)，亦即 \( a_1 =1, a_2 = \frac12 \), 之後，每一項都是前兩項的算術平均數。若極限 \( \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \) 存在，則 \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = ? \)

樓主可以的話，順帶註記一下年份地區，謝謝

第一題是101年第三區新竹高中(筆試二)
第二題是 99年第三區新竹高中(筆試二)

第2題
用特徵方程式，可得\({{a}_{n}}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n}}\)

謝謝,第一題我之前也想到要代入w,但沒有相對代入1,和w的平方去除以3,現在懂了,謝謝高手~

第2題用數線觀察好像也蠻簡明的:

依序在數線標出 a1,a2,a3... 的位置(依序取末2點之中點)，不難體會所求

=  1-1/2+1/4-1/8...(無窮等比級數和: 首項 = 1, 公比 = -1/2)
=  1 / [1-(-1/2)]
=  2/3

此法亦可得知一般項 = (2/3) - (2/3)*(-1/2)ⁿ


另外不使用"求和/極限值"的觀察法:

考慮一新數列，其各項依次為原數列各項之2倍:

2，1，3/2，5/4...

則新數列極限值亦為原數列極限值之2倍。

以數線觀察，知新數列之第 n+1 項與原數列之第 n 項對稱於 "1" 這點，故新數列極限值亦與原數列極限值對稱於 "1" 這點 (即以"1"為中點)。

令原數列極限值 = x，則:

x + 2x = 2

得 x = 2/3。