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高中學力競賽題目

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高中學力競賽題目

請問一下高中學力競賽中的兩題題目!!謝謝!!
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{33}\left(C_{3k}^{101}-C_{3k}^{100}+C_{3k}^{99}\right)=\)

設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\):\(\displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{8},\ldots\),亦即\(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{2}\),之後,每一項都是前兩項的算術平均數。若極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)存在,則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)

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回復 1# cally0119 的帖子

幫打字
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{33} \left( C^{101}_{3k}-C^{100}_{3k}+C^{99}_{3k} \right ) \)

法1. 二項式定理,考慮 \( (1+x)^n, n=99,100,101, x=1,\omega, \omega^2 \) 相加除以3,其中 \( \omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)。

法2. For \( k \geq 1, C^{101}_{3k}-C^{100}_{3k}+C^{99}_{3k} = C^{100}_{3k-1} + C^{99}_{3k} = C^{99}_{3k-2} + C^{99}_{3k-1} + C^{99}_{3k} \)

設數列 \( \displaystyle \left< a_n \right>:  1,\frac12,\frac34,\frac58,\ldots\ldots \),亦即 \( a_1 =1, a_2 = \frac12 \), 之後,每一項都是前兩項的算術平均數。若極限 \( \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \) 存在,則 \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = ? \)

樓主可以的話,順帶註記一下年份地區,謝謝

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-11-9 05:12 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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第一題是101年第三區新竹高中(筆試二)
第二題是 99年第三區新竹高中(筆試二)

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回復 1# cally0119 的帖子

第2題
用特徵方程式,可得\({{a}_{n}}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n}}\)

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謝謝,第一題我之前也想到要代入w,但沒有相對代入1,和w的平方去除以3,現在懂了,謝謝高手~

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第2題用數線觀察好像也蠻簡明的:


依序在數線標出 a1,a2,a3... 的位置(依序取末2點之中點),不難體會所求


=  1-1/2+1/4-1/8...(無窮等比級數和: 首項 = 1, 公比 = -1/2)
=  1 / [1-(-1/2)]
=  2/3

此法亦可得知一般項 = (2/3) - (2/3)*(-1/2)ⁿ


另外不使用"求和/極限值"的觀察法:

考慮一新數列,其各項依次為原數列各項之2倍:


2,1,3/2,5/4...


則新數列極限值亦為原數列極限值之2倍。

以數線觀察,知新數列之第 n+1 項與原數列之第 n 項對稱於 "1" 這點,故新數列極限值亦與原數列極限值對稱於 "1" 這點 (即以"1"為中點)。


令原數列極限值 = x,則:


x + 2x = 2


得 x = 2/3。







[ 本帖最後由 cefepime 於 2014-11-9 08:03 PM 編輯 ]

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