x^2-xy+y^2=3,且x,y為整數求x^2+y^2

利用\({{x}^{2}}-yx+\left( {{y}^{2}}-3 \right)=0\)的判別式\(\ge 0\)可得y之範圍，答案是 2 或 5

另解：

\(\displaystyle x^2-xy+y^2=3\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}=3\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(2x-y\right)^2+3y^2=12\)

因為 \(x\) 與 \(y\) 皆為整數，可得

\(\displaystyle \left(2x-y, y\right)=\left(0, \pm2\right), (\left(3, \pm1\right)\) 或 \(\left(-3, \pm1\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(x, y\right)=\left(2, 1\right), \left(-2, -1\right), \left(1, 2\right), \left(-1, -2\right), \left(-1, 1\right)\) 或 \(\displaystyle \left(1, -1\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2+y^2 = 2\) 或 \(5\)

註：感謝 thepiano 老師私訊提醒小弟的條列疏漏（已修正），我真是粗心鬼。 XDDD

令x^2+y^2=t ,則xy=t-3
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=t+2(t-3)>=0 , t>=2
(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=t-2(t-3)>=0 ,t<=6
得2<=t<=6 ,t=2,3,4,5,6
因為x,y為整數,所以t為平方和
因此t不可能為3,6 ,剩下檢查t=2,4,5
只有x^2+y^2=t=4 ,xy=t-3=1  其x,y沒有整數解
所以x^2+y^2=2或5

註:2<=t<=6的範圍解,至少會有四種以上的解法
以上只是其中一種解法

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-10-12 11:15 AM 編輯 ]

謝謝各位大大