x^2-xy+y^2=3,且x,y為整數求x^2+y^2

利用x2−yx+y2−3=0 的判別式0可得y之範圍，答案是 2 或 5

另解：

x2−xy+y2=3

x−y22+43y2=3 

2x−y2+3y2=12 

因為 x 與 y 皆為整數，可得

2x−yy=02(31  或 −31 

xy=21−2−112−1−2−11  或 1−1 

x2+y2=2 或 5

註：感謝 thepiano 老師私訊提醒小弟的條列疏漏（已修正），我真是粗心鬼。 XDDD

令x^2+y^2=t ,則xy=t-3
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=t+2(t-3)>=0 , t>=2
(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=t-2(t-3)>=0 ,t<=6
得2<=t<=6 ,t=2,3,4,5,6
因為x,y為整數,所以t為平方和
因此t不可能為3,6 ,剩下檢查t=2,4,5
只有x^2+y^2=t=4 ,xy=t-3=1  其x,y沒有整數解
所以x^2+y^2=2或5

註:2<=t<=6的範圍解,至少會有四種以上的解法
以上只是其中一種解法

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-10-12 11:15 AM 編輯 ]

謝謝各位大大