如附件

設 nN ，若 23n+3−7n+41 恆為正整數 m 的倍數，則 m 有幾種不同的數值？

m 應是正整數

n 先用 1、2 代入觀察，再用數學歸納法證明，其恆為 49 的倍數
故答案為 3 種

抱歉，m為正整數才對。
可否透過移項的一些代數方法直接討論而得，謝謝鋼琴兄的解答。

  23n+3−7n+41=8n+1−8−7n+49=88n−1−7n+49=78n−1+8n−1−7n+49=498n−1+8n−2++8+1+78n−1+8n−2++8+1−7n+49=498n−1+8n−2++8+1+78n−1+8n−2++8+1−n+49  8n−1+8n−2++8+11+1++1+1nmod 78n−1+8n−2++8+1−n0mod 723n+3−7n+410mod 49

好像沒有比較好寫......

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-10-11 09:15 AM 編輯 ]

依循 thepiano 老師的起頭發想，但改套用二項式定理，

8n+17+1n+1C1n+171+C0n+1707n+8(mod72) 

8n+1−8−7n0(mod72)

8n+1−8−7n+72  0(mod72) 

23n+3−7n+41  0(mod72)

這式子真漂亮...

好漂亮的想法，謝謝

也是可以用數學歸納法唷！

n為非負整數，證明2^(3n+3)-7n+41恆為49的倍數
2^(3n+3)-7n+41=8^(n+1)-7n+41
當n=0時，8^(0+1)-7*0+41=49為49的倍數，成立。
設當n=k時成立，即8^(k+1)-7k+41≡0 (mod 49) → 8^(k+1)≡7k-41≡7k+8 (mod 49).....甲
當n=k+1時，
8^(k+2)-7(k+1)+41
≡8*8^(k+1)-7k-7+41
≡8*8^(k+1)-7k+34
≡8*(7k+8)-7k+34.....將甲式代入
≡49k+98
≡0 (mod 49)
故n=k+1時亦成立。
根據數學歸納法的原理，原式恆成立。

我有說不能用數學歸納法嗎？

鋼琴大：
您想太多了。在下有說您有說不能用數學歸納法嗎？
在下說「也是可以用數學歸納法唷！」只是因為您用的不是數學歸納法，而在下想提供給大家另一個證法而已。謝謝！