如附件

設 \(n\in\mathbb{N}\) ，若 \(2^{3n+3}-7n+41\) 恆為正整數 \(m\) 的倍數，則 \(m\) 有幾種不同的數值？

m 應是正整數

n 先用 1、2 代入觀察，再用數學歸納法證明，其恆為 49 的倍數
故答案為 3 種

抱歉，m為正整數才對。
可否透過移項的一些代數方法直接討論而得，謝謝鋼琴兄的解答。

\(\begin{align}
  & {{2}^{3n+3}}-7n+41 \\
& ={{8}^{n+1}}-8-7n+49 \\
& =8\left( {{8}^{n}}-1 \right)-7n+49 \\
& =7\left( {{8}^{n}}-1 \right)+{{8}^{n}}-1-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n \right)+49 \\
&  \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1\equiv 1+1+\cdots \cdots +1+1\equiv n\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n\equiv 0\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{2}^{3n+3}}-7n+41\equiv 0\quad \left( \bmod \ 49 \right) \\
\end{align}\)

好像沒有比較好寫......

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-10-11 09:15 AM 編輯 ]

依循 thepiano 老師的起頭發想，但改套用二項式定理，

\(8^{n+1}\equiv\left(7+1\right)^{n+1}\equiv C^{n+1}_1\cdot7^1+C^{n+1}_0\cdot7^0\equiv 7n+8\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow 8^{n+1}-8-7n\equiv 0\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow \left(8^{n+1}-8-7n\right)+7^2\equiv  0\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow 2^{3n+3}-7n+41\equiv  0\pmod{7^2}\)

這式子真漂亮...

好漂亮的想法，謝謝

也是可以用數學歸納法唷！

n為非負整數，證明2^(3n+3)-7n+41恆為49的倍數
2^(3n+3)-7n+41=8^(n+1)-7n+41
當n=0時，8^(0+1)-7*0+41=49為49的倍數，成立。
設當n=k時成立，即8^(k+1)-7k+41≡0 (mod 49) → 8^(k+1)≡7k-41≡7k+8 (mod 49).....甲
當n=k+1時，
8^(k+2)-7(k+1)+41
≡8*8^(k+1)-7k-7+41
≡8*8^(k+1)-7k+34
≡8*(7k+8)-7k+34.....將甲式代入
≡49k+98
≡0 (mod 49)
故n=k+1時亦成立。
根據數學歸納法的原理，原式恆成立。

我有說不能用數學歸納法嗎？

鋼琴大：
您想太多了。在下有說您有說不能用數學歸納法嗎？
在下說「也是可以用數學歸納法唷！」只是因為您用的不是數學歸納法，而在下想提供給大家另一個證法而已。謝謝！