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一題求解 [求證 2^(3n+3)-7n+41 恆為 49 的倍數]

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一題求解 [求證 2^(3n+3)-7n+41 恆為 49 的倍數]

如附件

設 \(n\in\mathbb{N}\) ,若 \(2^{3n+3}-7n+41\) 恆為正整數 \(m\) 的倍數,則 \(m\) 有幾種不同的數值?

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回復 1# dtc5527 的帖子

m 應是正整數

n 先用 1、2 代入觀察,再用數學歸納法證明,其恆為 49 的倍數
故答案為 3 種

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回復 2# thepiano 的帖子

抱歉,m為正整數才對。
可否透過移項的一些代數方法直接討論而得,謝謝鋼琴兄的解答。

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回復 3# dtc5527 的帖子

\(\begin{align}
  & {{2}^{3n+3}}-7n+41 \\
& ={{8}^{n+1}}-8-7n+49 \\
& =8\left( {{8}^{n}}-1 \right)-7n+49 \\
& =7\left( {{8}^{n}}-1 \right)+{{8}^{n}}-1-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n \right)+49 \\
&  \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1\equiv 1+1+\cdots \cdots +1+1\equiv n\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n\equiv 0\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{2}^{3n+3}}-7n+41\equiv 0\quad \left( \bmod \ 49 \right) \\
\end{align}\)

好像沒有比較好寫......

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-10-11 09:15 AM 編輯 ]

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依循 thepiano 老師的起頭發想,但改套用二項式定理,

\(8^{n+1}\equiv\left(7+1\right)^{n+1}\equiv C^{n+1}_1\cdot7^1+C^{n+1}_0\cdot7^0\equiv 7n+8\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow 8^{n+1}-8-7n\equiv 0\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow \left(8^{n+1}-8-7n\right)+7^2\equiv  0\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow 2^{3n+3}-7n+41\equiv  0\pmod{7^2}\)

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回復 5# weiye 的帖子

這式子真漂亮...

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回復 5# weiye 的帖子

好漂亮的想法,謝謝

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回復 4# thepiano 的帖子

也是可以用數學歸納法唷!

n為非負整數,證明2^(3n+3)-7n+41恆為49的倍數
2^(3n+3)-7n+41=8^(n+1)-7n+41
當n=0時,8^(0+1)-7*0+41=49為49的倍數,成立。
設當n=k時成立,即8^(k+1)-7k+41≡0 (mod 49) → 8^(k+1)≡7k-41≡7k+8 (mod 49).....甲
當n=k+1時,
8^(k+2)-7(k+1)+41
≡8*8^(k+1)-7k-7+41
≡8*8^(k+1)-7k+34
≡8*(7k+8)-7k+34.....將甲式代入
≡49k+98
≡0 (mod 49)
故n=k+1時亦成立。
根據數學歸納法的原理,原式恆成立。

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回復 8# 克勞棣 的帖子

我有說不能用數學歸納法嗎?

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回復 9# thepiano 的帖子

鋼琴大:
您想太多了。在下有說您有說不能用數學歸納法嗎?
在下說「也是可以用數學歸納法唷!」只是因為您用的不是數學歸納法,而在下想提供給大家另一個證法而已。謝謝!

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