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請教一個極限觀念...

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請教一個極限觀念...

若a_n為收斂數列   則a_n/(3n+2)  的極限值必定發散   對嗎
如果不是   可以舉出反例嗎......感恩

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試證:若 \(\left<a_n\right>\) 為收斂數列,則 \(\displaystyle\left<\frac{a_n}{3n+2}\right>\) 收斂。

證明:

若 \(\left<a_n\right>\) 為收斂數列,則 \(\left<a_n\right>\) 必有界

即存在實數 \(B>0\),使得 \(|a_n|<B,\forall n\in\mathbb{N}\)

\(\displaystyle\Rightarrow -B<a_n<B\)

\(\displaystyle\Rightarrow -\frac{B}{3n+2}<\frac{a_n}{3n+2}<\frac{B}{3n+2}\)

因為 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{B}{3n+2}=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{B}{3n+2}\right)=0\) 以及夾擠定理,

可知 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3n+2}\) 存在,且 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3n+2}=0\)

故,\(\displaystyle\left<\frac{a_n}{3n+2}\right>\) 收斂。

證畢。

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如果 \(\left<a_n\right>\) 發散,則 \(\displaystyle\left<\frac{a_n}{3n+2}\right>\) 不一定收斂或發散

例 1. \(\displaystyle\left<a_n\right> = \left<3n+2\right>\) 發散,且 \(\displaystyle\left<\frac{a_n}{3n+2}\right>\) 收斂

例 2. \(\displaystyle\left<a_n\right> = \left<\left(3n+2\right)^2\right>\) 發散,但 \(\displaystyle\left<\frac{a_n}{3n+2}\right>\) 會發散。

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回復 1# kyrandia 的帖子

反例:數列\(\left\{ \frac{1}{n} \right\}\)收斂於0,數列\(\left\{ \frac{1}{n\left( 3n+2 \right)} \right\}\)也收斂於0

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