試證：若 \(\left<a_n\right>\) 為收斂數列，則 \(\displaystyle\left<\frac{a_n}{3n+2}\right>\) 收斂。
證明：
若 \(\left<a_n\right>\) 為收斂數列，則 \(\left<a_n\right>\) 必有界
即存在實數 \(B>0\)，使得 \(|a_n|<B,\forall n\in\mathbb{N}\)
\(\displaystyle\Rightarrow -B<a_n<B\)
\(\displaystyle\Rightarrow -\frac{B}{3n+2}<\frac{a_n}{3n+2}<\frac{B}{3n+2}\)
因為 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{B}{3n+2}=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{B}{3n+2}\right)=0\) 以及夾擠定理，
可知 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3n+2}\) 存在，且 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3n+2}=0\)
故，\(\displaystyle\left<\frac{a_n}{3n+2}\right>\) 收斂。
證畢。
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如果 \(\left<a_n\right>\) 發散，則 \(\displaystyle\left<\frac{a_n}{3n+2}\right>\) 不一定收斂或發散
例 1. \(\displaystyle\left<a_n\right> = \left<3n+2\right>\) 發散，且 \(\displaystyle\left<\frac{a_n}{3n+2}\right>\) 收斂
例 2. \(\displaystyle\left<a_n\right> = \left<\left(3n+2\right)^2\right>\) 發散，但 \(\displaystyle\left<\frac{a_n}{3n+2}\right>\) 會發散。
