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正方形分割

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正方形分割

將一正方形分割成n塊小正方形,其大小不拘,試證n=5時無解,並寫出可能無解的n,說明這些無解的n的共通特性。

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回復 1# bch0722b 的帖子

無解的 n 只有限個,這樣共通性要說什麼??

構造:
(1) 長寬各砍一半可得 \( n =1+3 \)。
(2) 割成 3x3,再把其中4塊黏起來,可得 \( n=1+5 \)
反複使用 (1)(2) 可得 \( n=4,6,7,9,10,11,12,\ldots \)
(3) 仿 (2) 割成 4x4,9塊黏起來,可得 \( n =8 \)

剩下 \( n=2,3,5 \)
文不成,武不就

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感謝寸斯~~
剛剛想了一下...似乎丟了題沒水準的上來~~

[ 本帖最後由 bch0722b 於 2014-9-9 09:59 PM 編輯 ]

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回復 3# bch0722b 的帖子

這題蠻好玩的,怎會沒水準?

分割完後的每個小正方形,最多只能取原正方形的某 1 個頂點來當頂點
故 n 的最小值是 4

n = 5 時,假設其中 4 塊取原正方形的某 1 個頂點來當頂點的小正方形分別是 A、B、C、D
其中 A 在左上角,B 在左下角,C 在右上角,D 在右下角
設原正方形邊長 x,A 邊長 a,B 邊長 b,C 邊長 c,D 邊長 d

(1) a + b < x,畫圖可知,除 A、B、C、D 外,剩下區域不可能只構成第 5 個正方形

(2) a + b = x,且 a > x/2 > b
則 0 < c ≦ x - a,0 < d ≦ x - a
b + c < x,c + d < x
除 A、B、C、D 外,剩下區域亦不可能只構成第 5 個正方形

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回復 4# thepiano 的帖子

是很好玩...道理想一想,想得通,但證明要寫得簡潔清楚,有麻煩

但無解的 n (2,3,5) 共同特性,到底是想問什麼?
文不成,武不就

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回復 5# tsusy 的帖子

有點小疑惑提出,看看是否想錯
n=2可看成 5^2=4^3+3^2
n=3可看成3^2=2^2+2^2+1^2
n=5 還想不到否定有解方法
構造那邊有點不懂怎麼反覆(1)、(2)鏟除n>=6(太精簡了,腦袋轉不太過去)

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-10 06:35 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 瓜農自足 於 2014-9-10 06:33 PM 發表
有點小疑惑提出,看看是否想錯
n=2可看成 5^2=4^3+3^2
n=3可看成3^2=2^2+2^2+1^2
n=5 還想不到否定有解方法
構造那邊有點不懂怎麼反覆(1)、(2)鏟除n>=6(太精簡了,腦袋轉不太過去) ...
恕我眼拙,看不出 \( n=2,3 \) 有什麼共通性?左式的 \( 5^2, 3^2 \) 和 \( n \) 有關係嗎?

還是您指的是這樣的等式,可以解釋或薀涵無解?

使用 (1)(2) 只排除了 \( n \geq 9 \) 及 \( n=4,6,7 \),沒有 8,所以當然推不出"排出 \( n \geq 6 \)"

方法是先用 (1)(2) 的切割法構造 \( n=9,10,11 \),接著對 9,10,11 重複使用 (1),就會一直加 3,而造出 \( n\geq 9 \) 的自然數
文不成,武不就

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回復 7# tsusy 的帖子

我的意思其實是要分割成兩個小正方形(n=2)有個方式:

先將原正方形等分割成\(5\times5 \),把其中相鄰兩邊上的9塊,黏成一塊\(3\times3 \),剩一塊\(4\times4 \),共2塊。

另外,若要分割成三個小正方形(n=3):先分割成\(3\times3 \),

把其中八塊黏成兩塊\(2\times2 \),剩一塊,共3塊。

如此一來,這樣n=5會有解

不知道哪邊出問題@@

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-10 11:09 PM 編輯 ]

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回復 8# 瓜農自足 的帖子

完全看不懂(汗!)
文不成,武不就

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回復 8# 瓜農自足 的帖子

原正方形只能分割,不能分割完再拼湊

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