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100國家安全情報人員考試-數論

100國家安全情報人員考試-數論

題目下載http://www1c.moex.gov.tw/ExamQue ... 00/100180_60930.pdf

一、求出四組滿足方程式35x+55y+77z=1的整數解(xyz)
[解答]
https://math.pro/db/attachment.p ... e8&t=1406332144


二、求同時滿足下列條件的最小正整數n:2n為完全平方數(即m2)的形式,3n為完全立方數,且5n為完全五次方數。
[解答]
www.tcgs.tc.edu.tw/~sunp/compete/junior/09.doc


三、證明:n021n1+31nn+n+1(1)nnn=1n+1 。此處ni=n!i!(ni!) n0=1 為二項係數。
[解答]
1k+1nk=1k+1n!k!(nk)!=1n+1(n+1)!(k+1)!(nk)!=1n+1n+1k+1 

由二項式定理可知
(1+x)n+1=n+10+n+11x1++n+1n+1xn+1 
x=1代入
(1+(1))n+1=n+10n+11++(1)n+1n+1n+1 
n+11n+12++(1)n+1n+1n+1=n+10=1 

原式=k=nk=0(1)k1k+1nk=1n+1k=nk=0(1)kn+1k+1=1n+1 

[另解]
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347341379.A.6B5.html


四、求所有小於36的正整數n,使得36整除n9+n6+n3+1
[解答]
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1316255004.A.268.html
http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1316254787.A.EDF.html


五、任給兩個大於1,且為互質的正整數a,b。試證:
(一)abab不可能寫成ax+by的形式,其中x,y為非負整數。
(二)任意abab大的整數都可以寫成ax+by的形式,其中x,y為非負整數。
(例如:a=3b=5,則7無法寫成3x+5y的形式,其中x,y為非負整數;但8=3+59=3310=2511=23+5)…。事實上,任意比7大的整數可以寫成3x+5y的形式)
[解答]
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347802854.A.40F.html
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347811303.A.E97.html

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