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100國家安全情報人員考試-數論
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發表於 2014-7-26 08:05
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100國家安全情報人員考試-數論
題目下載
http://www1c.moex.gov.tw/ExamQue ... 00/100180_60930.pdf
一、求出四組滿足方程式
35
x
+
5
5
y
+
7
7
z
=
1
的整數解
(
x
y
z
)
。
[解答]
https://math.pro/db/attachment.p ... e8&t=1406332144
二、求同時滿足下列條件的最小正整數n:
2
n
為完全平方數(即
m
2
)的形式,
3
n
為完全立方數,且
5
n
為完全五次方數。
[解答]
www.tcgs.tc.edu.tw/~sunp/compete/junior/09.doc
三、證明:
n
0
−
2
1
n
1
+
3
1
n
n
−
+
n
+
1
(
−
1
)
n
n
n
=
1
n
+
1
。此處
n
i
=
n
!
i
!(
n
−
i
!)
,
n
0
=
1
為二項係數。
[解答]
1
k
+
1
n
k
=
1
k
+
1
n
!
k
!(
n
−
k
)!
=
1
n
+
1
(
n
+
1
)!
(
k
+
1
)!(
n
−
k
)!
=
1
n
+
1
n
+
1
k
+
1
由二項式定理可知
(1
+
x
)
n
+1
=
n
+
1
0
+
n
+
1
1
x
1
+
+
n
+
1
n
+
1
x
n
+1
x
=
−
1
代入
(1
+
(
−
1)
)
n
+1
=
n
+
1
0
−
n
+
1
1
+
+
(
−
1
)
n
+1
n
+
1
n
+
1
n
+
1
1
−
n
+
1
2
+
+
(
−
1
)
n
+1
n
+
1
n
+
1
=
n
+
1
0
=
1
原式
=
k
=
n
k
=0
(
−
1
)
k
1
k
+
1
n
k
=
1
n
+
1
k
=
n
k
=0
(
−
1
)
k
n
+
1
k
+
1
=
1
n
+
1
[另解]
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347341379.A.6B5.html
四、求所有小於36的正整數n,使得36整除
n
9
+
n
6
+
n
3
+
1
。
[解答]
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1316255004.A.268.html
http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1316254787.A.EDF.html
五、任給兩個大於1,且為互質的正整數a,b。試證:
(一)
ab
−
a
−
b
不可能寫成
a
x
+
b
y
的形式,其中x,y為非負整數。
(二)任意
ab
−
a
−
b
大的整數都可以寫成
a
x
+
b
y
的形式,其中x,y為非負整數。
(例如:
a
=
3
,
b
=
5
,則7無法寫成
3
x
+
5
y
的形式,其中x,y為非負整數;但
8
=
3
+
5
,
9
=
3
3
,
10
=
2
5
,
11
=
2
3
+
5
)…。事實上,任意比7大的整數可以寫成
3
x
+
5
y
的形式)
[解答]
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347802854.A.40F.html
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347811303.A.E97.html
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