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幾何證明2014.7.3

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幾何證明2014.7.3

如圖,E、F分別為圓O的內接四邊形ABCD的對角線BD、AC的中點,分別過E、F作EK垂直AC,FK垂直BD,兩直線交於K,KM垂直AD交BC於M。
請證明BM = MC。

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2014-7-2 06:47

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我的解法
如下圖
看圖就懂了
剩下就交給bch0722b

不然又會打錯字~~

好像少了些東西
再加幾條線好了

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-7-2 09:39 PM 編輯 ]

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2014-7-2 21:39

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自己來好了
若有疏漏敬請指正

如上圖
易知OEKF為平行四邊形
延長BK至I,使得BK = KI
延長AO交圓於G,連DG,則AD垂直DG
連CG,則CG = 2FO = 2EK = ID,且CG// FO // EK // ID
故IDGC為平行四邊形,故DG = IC
因KM//DG//IC(∵KM垂直AD且DG垂直AD),且K為BI中點,故M為BC中點
得證

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補充說明
【思路引導】
一開始我先延長AO交圓於G,連CG,則CG = 2EK
再連BG,若M為BC中點(先從答案倒推),則KEHM為平行四邊形
2KM = 2EH = DG
因此我想,只要證明2KM = DG即可證明M為BC中點
於是,如果把DG平移至IC,再證明K為BI中點即可
逆向思考,再輔佐幾個平行問題,於是就成了上面的證明了

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這....太神奇了!不過繞了好大一圈,超複雜!!!看來是需要勇氣(畫成這樣還敢再證下去的勇氣)與毅力的證明。
或許向量能快些~~純幾何真是太猛了==!

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BG和H根本多餘,搞得那張圖怪可怕的==

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有用阿
輔助思考(思路引導)
雖然證明時沒用到

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