若  向量a=(2,1,-1)  , 向量b=(1,3,2) , 向量c=(-2,3,1)  且 s,t 屬於實數
則 當向量d=(向量a)-s(向量b)-t(向量c) 時
求向量d的絕對值 之最小值?
ans: (4根號115)/23
請問老師,為何最小值成立於向量d同時垂直向量b與向量c
我看不懂圖
謝謝!

\(\left| \overrightarrow{d} \right|=\left| \overrightarrow{a}-\left( s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c} \right) \right|,s,t\in \mathbb{R}\),  觀察\(\left\{ \left. s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c} \right|s,t\in \mathbb{R} \right\}=Span\left\{ \overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \right\}\),
表示由\(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) 兩向量所張的平面，這是線性組合的觀念，
故原式即為求向量\(\overrightarrow{d}\)到此平面的動點之最短距離，由於垂直距離最短，
故此時\(\overrightarrow{d}\)會平行於此平面的法向量，即\(\overrightarrow{d}//\left( \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c} \right)\Rightarrow \overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{c}=0\)
將\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) 都拉成同一個起點時(取原點最方便)最小值會發生，
此時最小值就是您提供的答案了，不好意思沒辦法附個圖。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-17 09:01 AM 編輯 ]

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-17 08:59 AM 發表
\(\left| \overrightarrow{d} \right|=\left| \overrightarrow{a}-\left( s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c} \right) \right|,s,t\in \mathbb{R}\),  觀察...

謝謝您的解說!