證明：不定方程 x^2+y^2+z^2+3(x+y+z)+5=0 沒有有理數解。

令a=2x+3，b=2y+3，c=2z+3
則題目即為求證 a^2+b^2+c^2=7 中a,b,c都是無理數
接下來該怎麼做?

假設 a2+b2+c2=7 有有理數解，則存在小正整數 s 使得 a2+b2+c2=7s2 有整數解 (pqr)。

故 0=p2+q2+r2−7s2p2+q2+r2+s2  (mod  8)。

gcd(pqrs) 必為 1，否則 pqrs 約去最大公因數，可得 a2+b2+c2=7(sgcd(pqrs))2 亦有整數解，與 s 之最小矛盾。

故 pqrs 中，必為 2奇2偶或4奇。

(1) 而任意奇數 n，皆為 n21 (mod 8)，而 p2+q2+r2+s20 (mod 8)，故 pqrs 為不可能是四個奇數。

(2) 而對於偶數 m，則有 m24 或 0 (mod 8)，2偶數與2奇數之平方和除以 8 之餘數，僅能是 2 或 6，故2奇2偶也是不可能的。

(1)(2) 與「pqrs 中，必為 2奇2偶或4奇」矛盾，故假設錯誤，a2+b2+c2=7 不存在有理數之解。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-13 08:52 PM 編輯 ]

對耶!我怎麼沒想到呢?這個手法真高明
這讓我想到另一個題目，也可以用類似方法解。

類題:
若 x,y,z 為整數且滿足方程式 x^2+2y^2=4z^2
求證x=y=z=0

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-6-13 04:57 PM 編輯 ]