想請問這兩題該怎麼解？

7.
方程式x3−6x2+3x+1=0的三根都是實數。
(i)試求出3+3+3的值；
(ii)試求出(2+1)(2+1)(2+1)的值；
(iii)已知滿足1，試求出k=0−kk=0−kk=0−k 的值。

8.
已知實數xyz滿足(x+y+z)(y+z)(z+x)(x+y)=0且x2y+z+y2z+x+z2x+y=0。試求
(i)xy+z+yz+x+zx+y的值；

(ii)x2yz+zxy2+z2xy的值。

7(III)：
先利用勘根知此三根位在區間−100156 
再由條件1與二分法, 推出−100156 
故11, 所求為
11+11+11+=+  +  +  =−1f6=19−1 

8. 一定有更快的做法，我這作法很暴力，毫無美感冏，看看就好…
x2y+z+y2z+x+z2x+y=y+zz+xx+yx2z+xx+y+y2y+zx+y+z2y+zz+x=0   考慮將上式因式分解，利用輪換的觀念，發現有x+y+z之因式，故得到
y+zz+xx+yx+y+zx3+y3+z3+xyz=0x3+y3+z3+xyz=0 
(i) 所求為
xy+z+yz+x+zx+y=y+zz+xx+yxz+xx+y+yy+zx+y+zy+zz+x 
=y+zz+xx+yx3+y3+z3+xyz+y+zz+xx+y=1 

103.06.13 謝謝鋼琴老師指正，中間有計算錯誤，已修正

(ii) 所求為x2yz+zxy2+z2xy=xyzx3+y3+z3=−1

這題值得再想想…..

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 10:16 PM 編輯 ]

hua0127 兄說#8一定有更快的做法,於是小弟就花點時間想這題~
剛開始想用根與係數方式,後來發現行不通~
於是換個想法,想到一個妙解~不用將它們全部展開再分解~
#8
令x+y+z=s,將原式改成
[x²-(y+z)²] /(y+z)  + [y²-(z+x)²] /(z+x)  +[z²-(x+y)²] /(x+y) = -2(x+y+z)=-2s
s*[x-(y+z)] /(y+z)  + s*[y-(z+x)] /(z+x)  +s*[z-(x+y)] /(x+y) = -2s
[x-(y+z)] /(y+z)  + [y-(z+x)] /(z+x)  +[z-(x+y)] /(x+y) = -2  (因s不為0)
x/(y+z)  + y/(z+x)  +z /(x+y)  -3 = -2
所以x/(y+z)  + y/(z+x)  +z /(x+y)  =1

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-13 10:41 PM 編輯 ]

第2小題
易知xyz=0

\begin{align}   & \frac{{{x}^{2}}}{y+z}=-\frac{{{y}^{2}}}{z+x}-\frac{{{z}^{2}}}{x+y} \\ & \frac{x}{y+z}=-\frac{{{y}^{2}}}{zx+{{x}^{2}}}-\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}+xy} \\ & \frac{y}{z+x}=-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}+yz}-\frac{{{z}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}} \\ & \frac{z}{x+y}=-\frac{{{x}^{2}}}{yz+{{z}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}+zx} \\ &  \\ & \frac{1}{{{y}^{2}}+yz}+\frac{1}{yz+{{z}^{2}}}=\frac{1}{y\left( y+z \right)}+\frac{1}{z\left( y+z \right)}=\frac{z+y}{yz\left( y+z \right)}=\frac{1}{yz} \\ & \frac{1}{{{z}^{2}}+zx}+\frac{1}{zx+{{x}^{2}}}=\frac{1}{zx} \\ & \frac{1}{{{x}^{2}}+xy}+\frac{1}{xy+{{y}^{2}}}=\frac{1}{xy} \\ &  \\ & \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=-\left( \frac{{{x}^{2}}}{yz}+\frac{{{y}^{2}}}{zx}+\frac{{{z}^{2}}}{xy} \right) \\ & \frac{{{x}^{2}}}{yz}+\frac{{{y}^{2}}}{zx}+\frac{{{z}^{2}}}{xy}=-1 \\ \end{align}

哇~~這真的是太神了~這方法才對嘛

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-13 11:21 PM 發表
哇~~這真的是太神了~這方法才對嘛

鋼琴兄的神算比小弟還厲害~
這題難在想從A(原條件)走到B(所求)
中間的足跡(線索)幾乎都被抹掉了
要很細心,很仔細去反推這些數運算的性質
才能把足跡慢慢的顯現出來~

只是很好奇這些題目原出處是哪裡?
是否可請原PO說一下
這些給"一般"高中資優生來做
應該是不容易想出來吧?

還是很佩服出這題的作者
畢竟我們只是解題者而已

原出處我不是很清楚，
這題目好像是某補習班老師在為一些資優教育訓練所出的題目，
我也是被別人拿來問，
想說po上來和大家討論一下！

謝謝大家的熱情討論～