一銳角三角形ABC，在BC上找兩點D和E，使角DAC=角EAB。AB上找一點M，使DM垂直AB。在AC上找一點N，使DN垂直AC。延長AE交三角形ABC外接圓於O。
證明:四邊形AMON的面積=三角形ABC的面積

我就不附圖了
先證MN垂直AE
AMDN四點共圓， \(\displaystyle \angle{AMN}=\angle{ADN} \)

所以  \(\displaystyle \angle{AMN}+ \angle{MAE}= \angle{ADN}+ \angle{DAN}=90^o \)

於是四邊形AMON面積= \(\displaystyle \frac{1}{2} AO \times MN \)

又圓AMDN的直徑為AD
所以 \(\displaystyle MN=AD \sin\angle{MAN} \)

\(\displaystyle \Delta ABO ~ \Delta ADC \)

\(\displaystyle AO \times AD=AB \times AC \)

四邊形AMON面積= \(\displaystyle \frac{1}{2} AO \times MN \)

\(\displaystyle =\frac{1}{2} AO \times AD  \sin\angle{MAN} \)

\(\displaystyle =\frac{1}{2} AB \times AC  \sin\angle{MAN} \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-8 03:04 PM 編輯 ]

謝謝老師~~

[ 本帖最後由 bch0722b 於 2014-6-8 01:35 PM 編輯 ]