證明： 03log10204

解: (1) fx 在x=a 處的泰勒展開式

重要注意的地方：是針對 x=a 處做高次切線的估計，
所以 如果是針對 x=a 處展開~則 帶入的 x 值也不可以跟 a 差太多，才可以得到正確的估計值

fx=fa+1!fax−a+2!fax−a2+3!fax−a3+   xa−ra+r 

(2) log2=ln2ln10  令 fx=lnx 
fx=x1fx=x2−1fx=2x3f(4)x=x4−6 
在a=1 附近的泰勒展開式
fx=0+111!x−1+2!1−1x−12+3!213x−13+4!14−6x−14+ 
fx=x−1−21x−12+31x−13−41x−14+       

Fx=fx+1=lnx+1=x−21x2+31x3−41x4+   −1x1
\begin{align}   & G\left( x \right)=f\left( 1-x \right)=\ln \left( 1-x \right)=\left( -x \right)-\frac{1}{2}{{\left( -x \right)}^{2}}+\frac{1}{3}{{\left( -x \right)}^{3}}-\frac{1}{4}{{\left( -x \right)}^{4}}+\cdots \cdots  \\ & \Rightarrow G\left( x \right)=f\left( 1-x \right)=\ln \left( 1-x \right)=-x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\cdots \cdots  \\ \end{align}  -1<x<1

\begin{align}   & F\left( x \right)-G\left( x \right)=\ln \left( x+1 \right)-\ln \left( 1-x \right)=\ln \frac{1+x}{1-x} \\ & =2\left( x+\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\frac{1}{5}{{x}^{5}}+\cdots \cdots  \right) \\ \end{align}

(3)\frac{1+x}{1-x}=2\Rightarrow x=\frac{1}{3}    \ln 2\approx 2\left\{ \frac{1}{3}+\left( \frac{1}{3} \right){{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}} \right\}=\frac{168}{243}\approx 0.691
(4) \frac{1+x}{1-x}=10\Rightarrow x=\frac{9}{11}  \ln 10\approx 2\left\{ \frac{9}{11}+\left( \frac{1}{3} \right){{\left( \frac{9}{11} \right)}^{3}} \right\}=\frac{2664}{1331}\approx 2.0\sim
(5) \log 2=\frac{\ln 2}{\ln 10}\approx \frac{0.691}{2.0\sim }\approx 0.345  得證

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-22 09:34 PM 編輯 ]

另証：

令 \displaystyle \log 2=\frac{x}{10}

則 \displaystyle 2=10^\frac{x}{10}\Rightarrow 10^x=2^{10}\Rightarrow 10^x=1024

因為 10^3=1000, 10^4=10000，

所以 \displaystyle 10^3<1024<10^4 \Rightarrow 10^3<10^x<10^4

因為 y=10^x 為單調遞增函數，

所以 \displaystyle3<x<4\Rightarrow 0.3<\frac{x}{10}<0.4\Rightarrow 0.3<\log 2<0.4

y = f(x) = \log x 為嚴格遞增函數，

由

\begin{array}{l} 1000 = {10^3} < {2^{10}} < 10000 = {10^4}\\ \Rightarrow \log {10^3} < \log {2^{10}} < \log {10^4}\\ \Rightarrow 3 < 10 \times \log 2 < 4\\ \Rightarrow 0.3 < \log 2 < 0.4 \end{array}

請教一下這個證明流程
要證0.3<log2<0.4 是不是不能從log的圖形下手,
因為不知道log2的值是多少,所以無法繪出圖形

關於這個部分，的確都不清楚 logx 的值，沒有足夠多的點，實在是沒辦法畫出圖形，判斷遞增情形。


我會下面思考
y = \log x = \frac{{\ln x}}{{\ln 10}}
y' = \frac{1}{{\ln 10}} \times \frac{1}{x} > 0            \ln 10 > 0   且真數 x恆正
由此可知一次導函數恆正，所以y=logx 為遞增函數

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-23 02:13 PM 編輯 ]