題目：空間中四點 A(312)B(350)C(024)D(206) ，平面 E 過 AB 中點與 CD 中點，若 ABCD 四點到平面 E 皆等距，求 E 方程式？

題目：空間中四點 A(312)B(350)C(024)D(206) ，平面 E 過 AB 中點與 CD 中點，若 ABCD 四點到平面 E 皆等距，求 E 方程式？

解答：

先求得 AB 中點 P(331) 與 CD 中點 Q(115)

再求得直線 PQ 的兩面式 x−y=02y+z−7=0 

令 E:kx−y+2y+z−7=0E:kx+2−ky+z−7=0 

因為 d(AE)=d(BE)=d(CE)=d(DE)

所以 2k−3k2+2−k2+12=−2k+3k2+2−k2+12=−2k+1k2+2−k2+12=2k−1k2+2−k2+12

解得 k=1E:x+y+z−7=0

另解，

若某平面通過某兩點的中點，則必與此兩點等距離。

反之，若某兩點於此平面異側，且平面與此兩點等距離，則此平面必通過兩點的中點。

未命名.png (3.84 KB)

2014-4-14 11:24

case i: 空間經平面 E 分隔成兩區域後，AC 同側，且BD 同側，

　　　 則平面 E 通過 AB 中點 (331)、CD 中點 (115)、AD 中點 (25214)、BC 中點 (27232)

　　　得平面 E:x+y+z−7=0


case i: 空間經平面 E 分隔成兩區域後，AD 同側，且BC 同側，

　　　 則平面 E 通過 AB 中點 (331)、CD 中點 (115)、AC 中點 (23233)、BD 中點 (\frac{5}{2},\frac{5}{2},3)

　　　 求解後發現，上述四點不共面。

故，答案為 E:x+y+z-7=0